在大多数题解中，我们经常看到这样的表述：“唔~普及组水题，这题显然是一个线性动规，那么肯定是第一时间想到设f[i]:1~i时刻的最大空闲时间。。。”请问为什么你就第一时间想到i就表示时刻，表示任务不行么？我们经常会出现这种情况：面对题解中各种“显然”的状态定义和转移方程一头雾水，不是看不懂，而是一种无解的纳闷：这货到底怎么想到的？
我们都知道解一道动态规划题首先要明确状态，然后推出状态转移方程，而我们拆电器的本质就是回答：究竟怎么明确状态？到底如何根据题目已知推出转移方程？
为什么动态规划的正解总是那么“显然”？其实没有哪一步思维过程真的是“显然”或“不难看出”，检验一道题是否真正理解，就是把一道题中你的思维过程像拆电视一样把零件全部摆出，然后一个个拿起来追问自己：这一步有卡壳吗？那一步真的是显然吗？你从这一步跳到下一步的理由到底是什么？
因此我的大概心得是，不要仅仅局限于正解，在开始思考时，将所有的状态的可能性列出来（f[i]的i除了表示时刻，可以表示任务吗？），在各自状态的基础上，推出最自然的转移方程，然后分别检验可行性（完美满足题目条件了吗？）。当你列出了所有可能性并一一尝试排除后，你就会发现真相就那一个或寥寥几个。
这样我们就能回答标题的问题：如果你擦去了上述的过程分析，你就会得到正解（结论），而没有分析过程（证明），所以才看起来那么“显然”。如果你疑惑这种“显然”，你就要“知其所以然”，就是自己尝试进行上述的过程分析。
下面我将以一道DP“水”题尼克的任务为例，强调“知其所以然”。我会尝试回答：
一．正解是怎么做的？
二．其他方法是怎么做的？
三．为什么正解可以其他方法不行？
四．其他方法真的不行吗？他们的适用范围在哪里呢？
解释申明：什么叫定义一个动态规划的状态？
就是声明一个数组，并赋予该数组及其每一个维度各自的意义，使它拥有推导和记录最优解的功能。如： 定义数组f[i]，f存储的的值表示尼克积累的偷懒时间，i表示从第1个时刻到第i个时刻，因此f[i]这个状态就被定义了，表示在尼克从开始到第i时刻时已经积累的偷懒时间，就是一个状态的定义。
经朋友点醒，觉得有必要补充一点点申明：
这篇文章只是我的一点思考上的心得，很遗憾不是题解。。如果你是跟我一样的动规新手，建议搜罗其他本题题解，或先换其他更直白的题目（我觉得这道题简单但很不直白-_-），因为我并不打算手把手从无后效性是什么意思，最优子结构对应本题的什么东西开始讲起。非常抱歉。。
这篇文章主要展示了我思考这道题时的头脑风暴，我认为不经过这种头脑风暴不足以得出“显然”的正解，因此本文重点是我的思考过程
一．我们直接从该题正解的状态定义开始
正解定义f[i]表示在第i时刻时已经积累的偷懒时间（先别问怎么想出来的，后面我们会讨论其他不同的定义）。我们可以推出方程：
①当前有任务t，a[t]表示任务持续时间，则f[i]=max（f[i+a[t]]）；②当前无任务，则f[i]=f[i-1]+1。
然后题解的方法是：因为f[i]跟后面的f[i+a[t]]有关，所以必须倒过来for循环，为了倒过来for循环，就要尝试修改第二个方程。因为f[i]=f[i-1]+1，等价于f[i]=f[i+1]-1。因为这个减一只是表示一种继承关系（每过一个时刻偷懒时间加一），如果我们决定逆向循环的话，这个方程完全可以写成f[i]=f[i+1]+1，与式子的变形无关，但本质是一样的（继承关系）。
综上，正确方程为：
①当前有任务t，a[t]表示任务持续时间，则f[i]=max（f[i+a[t]]）；②当前无任务，则f[i]=f[i+1]+1。
这样这道题就能A了。但是我有问题：
为什么因为f[i]跟后面的f[i+a[t]]有关，就必须倒过来for循环？
听题解的口气，“f[i]跟后面的f[i+a[t]]有关”这个逻辑顺序是不可动摇的（我的意思是，f[i]是由f[i+a[t]]这个已知状态推出来的新状态，也就是说当前的i表示的f[i]是由大于i的f[i+a[t]]推出来的），那么：
二．“f[i]跟f[i+a[t]]有关” 与 “f[i+a[t]]跟f[i]有关”是一回事吗？
如果是，我们就很自然想到刷表法，
f[i]=max(f[i],f[i-1]+1)，同时f[i+a[t]]=max（f[i+a[t]],f[i]）
或者转换为普遍的填表法，其实是等效的
f[i]=max(f[i],f[i-1]+1)，同时f[i]=max（f[i-a[t]],f[i]）
于是交上去WA了。我们的方程不符合题目条件，就是说，忽略了该题的某些特征。什么特征？
注意到该方程与上述的区别了吗？上面的有条件语句(如果有任务则①，无任务则②)，而修改后的情况没有。因为当尼克来到某个有任务结束的第i时刻，他可能是刚刚硬着头皮做任务熬过来的，也可能是在此之前早早结束了任务玩手机混过来的，但我们无法知道他到底是怎么过来的，所以我们只能把这两种情况考虑到最优解f[i]上来了。
以填表法为例，这样的结果是，因为f[i]=f[i-a[t]]是没有偷懒时间加成的，而 f[i]=f[i-1]+1有（这不每次转移都加了1嘛），因此f[i]的最优结果必定是由f[i-1]转移过来，f[i-1]又由f[i-2]转移过来，最后f[i-...]又由f[0]转移过来，那多爽，不用工作了。可惜注意到题目有先决条件，尼克在当前时刻有工作的时候必须工作，这种转移方式完全没有顾及这一点,因此这样for循环不可行。
于是我们回到问题，做出这样的马后炮解释：
“f[i]跟f[i+a[t]]有关”，意思f[i]的空闲时间必须只能和f[i+a[t]]一样，是强制性的转移。
而“跟f[i]有关”，意思是，f[i+a[t]]如果由f[i]推导过来，可能有更优的情况。
三．能不能定义f[i]表示做了第i个任务后积累的工作时间呢？
如果这样定义，因为变量i与任务有关，我们只能直接记录任务持续的总时间。但这不是问题，我们先求出最少的工作时间，被上班总时间相减不就得到最长偷懒时间了吗？
于是我们像模像样的推出转移方程：
for i 1->n,for j 0->i-1 ，若i在做完任务j后，则f[i]=min(f[i],f[j]+a[i])
这就好笑了，如果有的选，谁会去工作呢？那么每个f[i]最优情况当然是从f[0]转移过来，即从啥事也不做到只干了这一件事（因为f[i]的定义，必须要做了第i个任务）。因此还是老问题，无法满足题目的限制条件：尼克在当前时刻有工作的时候必须要工作。
我们把问题推向下一个阶段。
如果尼克是个工作狂，我把题目求解改成：写一个程序计算尼克应该如何选取任务，才能获得最大的工作时间。那会怎样？
一．能不能定义f[i]表示在第i时刻时已经积累的工作时间呢？
可以。我们看推出的方程：
f[i]=f[i-1]; f[i]=max(f[i],f[i-a[t]+1]+a[t])。a[t]表示在该时刻结束的任务的时长。文字解释就是尼克可以选择回到过去（即i-a[t]+1，指该任务开始时的那个时刻）补做该任务，这样完全可以。
同时，像下面一样，倒着for循环也没问题：
f[i]=f[i+1]; f[i]=max(f[i],f[[i+a[t]-1]+a[t]);
为什么这样子正着倒着都没问题，而原题正解必须倒着for循环呢？请留意题目条件所求，然后比较一下方程。思考：尼克在当前时刻有工作的时候必须要工作吗？这次可以了，因为这次是多多益善，就算老板不逼迫，尼克也会在在当前时刻有工作的时候去工作，自动遵循这个限制了。
二．能不能定义f[i]表示做完第i个任务后积累的工作时间呢？
这种方法可以解锁了，原因同上。
注意不能定义成f[i]表示前i个任务后积累的工作时间，因为我们需要通过判断第i个任务和第j个任务是否冲突来限制j，因此必须要记录当前情况所做的最后一个任务是什么（是i）
方程就是，f[i]=max(f[j]+a[i])，最终结果取所有计算过的f[i]的最大值（不一定是f[n]哦）。
我这里提出的“工作狂尼克的任务”问题其实就是“挤奶的时间”这道题。
这两道题还有一种图论的方法，不过这就超纲了，再说。
这个博客耗时有点长，到后面有点憋出来的感觉，润色细节是个问题。不知是不是正常现象，需要再写多几篇博客，一番比较才显优劣。