codeforces1307D 1900分最短路

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题意：

n个点m条边的无向连通图，边权都是1。

起点是第1个点，终点是第n个点。

有k个特殊点，你必须在原图上添加一条边，这条边连接两个关键点。

问你从起点到终点最短路的最大值是多少。

数据范围：  。

题解：

先dij跑两遍，dis1表示以第1个点为起点的最短路。dis2表示以第n个点为起点的最短路。

比赛时候是乱搞的，按照dis1对特殊点排序，然后选相邻的特殊点连边。然后按照dis2排序做相同操作。

不知道为什么能过，不过貌似有人证出来了。比赛时候感觉O(n)做法只能这么做，然后就这么写了。

下面说说正解。

设  是两个任意的特殊点，答案是  。

我们需要求  。

不妨设  。我们需要知道的是  。

移项得  。

下面我们对每个关键点按照  从小到大排序，对于每个关键点  求出  ，  。

可以用后缀最大值维护。

感受：

这题只有1900分，为什么我写的这么费劲，还要乱搞一个不会的做法。。。。

果然遇到不会的题目，分析出数学表达式才是王道。

代码1：（乱搞法）

#include
using namespace std ;
typedef long long ll ;
typedef pair pii ;
const int maxn = 2e5 + 5 ;
int n , m , k ;
char s[maxn] ;
int dis1[maxn] , dis2[maxn] ;
priority_queue , greater > q1 , q2 ;
int num , head[maxn] ;
bool vis[maxn] ;
int cur = 0 ;
struct node
{
	int x , id ;
	bool operator <(const node &s)  const
	{
		if(x != s.x)  return x < s.x ;
		else  return id < s.id ;
	}
} a[maxn] ;
struct Edge
{
	int v , next ;
} edge[maxn << 1] ;
void add_edge(int u , int v)
{
	edge[num].v = v ;
	edge[num].next = head[u] ;
	head[u] = num ++ ;
}
void dij1(int s)
{
   for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)  dis1[i] = dis2[i] = 1e9 ;
   dis1[s] = 0 ;
   q1.push(make_pair(0 , s)) ;
   while(!q1.empty())
   {
     pii p = q1.top() ;
     q1.pop() ;
     int u = p.second ;
     if(p.first != dis1[u])  continue ; //优化，不用旧值更新。
     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)
     {
       int v = edge[i].v , w = 1 ;
       if(dis1[v] > dis1[u] + w)
       {
         dis1[v] = dis1[u] + w ;
         q1.push(make_pair(dis1[v] , v)) ;
       }
     }
   }
}
void dij2(int s)
{
   dis2[s] = 0 ;
   q2.push(make_pair(0 , s)) ;
   while(!q2.empty())
   {
     pii p = q2.top() ;
     q2.pop() ;
     int u = p.second ;
     if(p.first != dis2[u])  continue ; //优化，不用旧值更新。
     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)
     {
       int v = edge[i].v , w = 1 ;
       if(dis2[v] > dis2[u] + w)
       {
         dis2[v] = dis2[u] + w ;
         q2.push(make_pair(dis2[v] , v)) ;
       }
     }
   }
}
void solve()
{
	int ans = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
    	if(!vis[i])  continue ;
    	a[++ cur].id = i , a[cur].x = dis1[i] ;
	}
	sort(a + 1 , a + cur + 1) ;
	for(int i = 1 ; i <= cur - 1 ; i ++)
	{
		int cost = min(dis1[n] , dis1[a[i].id] + 1 + dis2[a[i + 1].id]) ;
		cost = min(cost , dis1[a[i + 1].id] + 1 + dis2[a[i].id]) ;
		ans = max(ans , cost) ;
	}
	cur = 0 ;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
    	if(!vis[i])  continue ;
    	a[++ cur].id = i , a[cur].x = dis2[i] ;
	}
	sort(a + 1 , a + cur + 1) ;
	for(int i = 1 ; i <= cur - 1 ; i ++)
	{
		int cost = min(dis1[n] , dis1[a[i].id] + 1 + dis2[a[i + 1].id]) ;
		cost = min(cost , dis1[a[i + 1].id] + 1 + dis2[a[i].id]) ;
		ans = max(ans , cost) ;
	} 
    printf("%d\n" , ans) ;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) ;
	num = 0 , memset(head , -1 , sizeof(head)) ;
	for(int i = 1 ; i <= k ; i ++)
	{
		int x ;
		scanf("%d" , &x) ;
		vis[x] = 1 ;
	}
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
	{
		int u , v ;
		scanf("%d%d" , &u , &v) ;
		add_edge(u , v) ;
		add_edge(v , u) ;
	}
	dij1(1) ;
	dij2(n) ;
	solve() ;
	return 0 ;
}

代码2：（正解）

#include
using namespace std ;
typedef long long ll ;
typedef pair pii ;
const int maxn = 2e5 + 5 ;
int n , m , k ;
char s[maxn] ;
int dis1[maxn] , dis2[maxn] ;
priority_queue , greater > q1 , q2 ;
int num , head[maxn] ;
bool vis[maxn] ;
int cur = 0 ;
struct node
{
	int x , y ;
	bool operator <(const node &s)  const
	{
		return x - y < s.x - s.y ;
	}
} a[maxn] ;
struct Edge
{
	int v , next ;
} edge[maxn << 1] ;
void add_edge(int u , int v)
{
	edge[num].v = v ;
	edge[num].next = head[u] ;
	head[u] = num ++ ;
}
void dij1(int s)
{
   for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)  dis1[i] = dis2[i] = 1e9 ;
   dis1[s] = 0 ;
   q1.push(make_pair(0 , s)) ;
   while(!q1.empty())
   {
     pii p = q1.top() ;
     q1.pop() ;
     int u = p.second ;
     if(p.first != dis1[u])  continue ; //�Ż������þ�ֵ���¡�
     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)
     {
       int v = edge[i].v , w = 1 ;
       if(dis1[v] > dis1[u] + w)
       {
         dis1[v] = dis1[u] + w ;
         q1.push(make_pair(dis1[v] , v)) ;
       }
     }
   }
}
void dij2(int s)
{
   dis2[s] = 0 ;
   q2.push(make_pair(0 , s)) ;
   while(!q2.empty())
   {
     pii p = q2.top() ;
     q2.pop() ;
     int u = p.second ;
     if(p.first != dis2[u])  continue ; //�Ż������þ�ֵ���¡�
     for(int i = head[u] ; i != -1 ; i = edge[i].next)
     {
       int v = edge[i].v , w = 1 ;
       if(dis2[v] > dis2[u] + w)
       {
         dis2[v] = dis2[u] + w ;
         q2.push(make_pair(dis2[v] , v)) ;
       }
     }
   }
}
void solve()
{
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	  if(vis[i])  a[++ cur].x = dis1[i] , a[cur].y = dis2[i] ;
	sort(a + 1 , a + cur + 1) ;
	int suf = a[cur].y ;
	int ans = 0 ;
	for(int i = cur - 1 ; i >= 1 ; i --)
	  ans = max(ans , a[i].x + suf) , suf = max(suf , a[i].y) ;
    printf("%d\n" , min(ans + 1 , dis1[n])) ;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) ;
	num = 0 , memset(head , -1 , sizeof(head)) ;
	for(int i = 1 ; i <= k ; i ++)
	{
		int x ;
		scanf("%d" , &x) ;
		vis[x] = 1 ;
	}
	for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
	{
		int u , v ;
		scanf("%d%d" , &u , &v) ;
		add_edge(u , v) ;
		add_edge(v , u) ;
	}
	dij1(1) ;
	dij2(n) ;
	solve() ;
	return 0 ;
}