bzoj3028 食物 生成函数+广义二项式定理

首先我们有一些函数推收敛式的套路。

（这些是知名伪证，结论是对的，但是证明过程是胡扯）比如对于$y=1+x+x^2$ ，我们知道$xy=x+x^2+x^3$，所以有$xy-x^3=y-1$，即$y=\frac{1-x^3}{1-x}$。用类似的方法，我们还可以知道${\sum }_{i=0}^{inf}=\frac{1}{1-x}$等。

然后我们写一下所有食物的生成函数：
汉堡：${\sum }_{i=0}^{inf}{x}^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$
可乐：$1+x$
鸡腿：$1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$
蜜桃多：${\sum }_{i=0}^{inf}{x}^i-{\sum }_{i=0}^{inf}{x}^{2i}=\frac{x}{1-x^2}$
鸡块：${\sum }_{i=0}^{inf}{x}^{4i}=\frac{1}{1-x^4}$
包子：$1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$
土豆：$1+x$
面包：${\sum }_{i=0}^{inf}{x}^{3i}=\frac{1}{1-x^3}$

把它们全部乘起来得：$\frac{x}{(1-x{)}^4}$，在这个多项式中，$n$次项的系数就是选$n$个食物的方案数。
将$(1-x{)}^{-4}$展开。根据广义二项式定理，我们知道$k$次项的系数为$(-1{)}^k{(}_{-4}^k)$ ，而
$${(}_k^n)=\frac{{\prod }_{i=0}^{k-1}(n-i)}{k!}$$
所以$(1-x{)}^{-4}$的$n$次项系数为$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}$。又因为原多项式还要乘以一个$x$，所以它的$n$次项系数，也就是答案，就是$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$
然后边读入边取模什么的一下子就搞出来了。