0-1背包问题（动态规划）

动态规划法(Dynamic planning)介绍：动态规划的解法类似于分治法，都是先将一个大的问题分解成一个小的问题，再进行求解。然后有些问题使用分治法，会遇到很多相同的子问题，因此在求解过程中会出现过多的重复性计算。动态规划法主要采用表格的形式，动态地将每一个阶段每一状态的最优解记录下来，确保之后迭代过程利用到的都是最优解。

为了降低时间复杂度，我们就需要利用以空间换时间的思想，利用动态规划法，将已经计算过的子问题存到一定的空间内，等再次需要用到的时候取出来。

问题：假设有物品若干个，物品的重量分别为6、5、3、2，价值分别为15、10、8、4，背包最大的承重量是10，怎样选择使得背包里容纳的物品价值最高？

解题思路：每个物品都有两种状态：放与不放，即为0或1，如果使用蛮力法进行求解，时间复杂度为O()，显然当n越大时，它的

数量级大的难以想象，现在采用动态规划来降低这个复杂度并求解问题。

设物品集A，含有n个物品，它的重量为A.w={6,5,3,2}，它的价值为A.v={15,10,8,4}，承重为total=10，则P(A，total)为最优解。

若当前允许的承重量 j < w (某一物品重量)，选择不放入该物品，此时的P内允许的承重不变，并且该物品就从物品集中摘出。

                                                                     

若当前允许的承重量 j >= w (某一物品重量)，选择放入该物品，包里的价值增加了 v  (当前物品的价值)，此时的P内允许的承重就降低，并且该物品就从物品集中摘出。

                                                                     

因此我们最优解的递推公式为：

                                                                    

根据递推公式我们可以进行动态规划的填表了。

重量	价值	物品序号/ 承重	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	15	1	0	0	0	0	0	0	15	15	15	15	15
5	10	2	0	0	0	0	0	10	15	15	15	15	15
3	8	3	0	0	0	8	8	10	15	15	18	23	23
2	4	4	0	0	4	8	8	12	15	15	19	23	23

接下来具体的代码是用Python来实现的，完整代码如下。

#coding:utf-8
def max_value(w,v,total):
    n=len(v)
    pre=[([0]*(total+1)) for i in range(n+1)]
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,total+1):
            if j>=w[i-1]:
                key=max(pre[i-1][j],pre[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
                #第一项为同样重量阶段下前一个状态的权值，第二项为重量除去该状态的重量加上现有权值
                pre[i][j]=key
            else:
                pre[i][j]=pre[i-1][j]
    print(pre[i][j])
    for i in range(n+1):
        print(pre[i])
if __name__=="__main__":
    total=10
    # w=[2,3,5,7]
    # v=[3,4,7,9]
    w=[6,5,3,2]
    v=[15,10,8,4]
    max_value(w,v,total)