二项式定理

定义

在初等代数中，二项式定理（英语：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如(x + y)ⁿ 展开为类似 ax^by^c 项之和的恒等式，其中b、c均为非负整数且b + c = n。系数a是依赖于$n$和b的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如：^[1]

其实二项式定理也就一句话：$(x + y)^n = \sum_{i = 0}^n C_{n}^i x^{n - i} y^{i}$

证明

我太菜了，只会组合证明qwq

$(a+b)^n$是由$n$个$(a+b)$相乘，对于其中$a^k$中的这一项，我们肯定是从中选择了$k$个$a$相乘，剩下的$b$相乘就是$b^{n - k}$，这样的选法共有$C_n^k$个，因此该项为$C_n^k a^k b^{n -k}$

 

推广

也是一句话

$(x+y)^{\alpha }=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\alpha  \choose k}x^{{\alpha -k}}y^{k}$

其中

${\alpha  \choose k}={\frac  {\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}}={\frac  {(\alpha )_{k}}{k!}}$

应用

很深入的应用我还没有涉及到，也就是简单的了解了一下

cc上有一道毒瘤入门题，给大家推荐一下

题目

题解

参考资料

维基百科—二项式定理