AR模型
AR模型概念观
数字信号处理功率谱估计方法分经典功率谱估计和现代功率谱估计，现代功率谱估计以参数模型功率谱估计为代表，参数功率谱模型如下：
u(n) ——> H(z) ——> x(n)
参数模型的基本思路是：
—— 参数模型假设研究过程是由一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。
—— 由假设参数模型的输出x(n)或其自相关函数来估计H(z)的参数
—— 由H(z)的参数估计x(n)的功率谱
因此，参数模型功率谱的求解有两步：
（1）H(z)模型参数估计
（2）依据模型参数求功率谱
matlab实现
matlab工具箱中提供了现成的函数实现AR模型功率谱计算。参考[2]，我们将内容摘录如下：
AR模型的谱估计是现代谱估计的主要内容。
1．AR模型的Yule—Walker方程和Levinson-Durbin递推算法：在MATLAB中，函数levinson和aryule都采用Levinson-Durbin递推算法来求解AR模型的参数a1,a2,……,ap及白噪声序列的方差，只是两者的输入参数不同，它们的格式为：
A=LEVINSON(R,ORDER) A=ARYULE(x,ORDER)
两函数均为定阶ORDER的求解，但是函数levinson的输入参数要求是序列的自相关函数，而函数aryule的输入参数为采样序列。
下面语句说明函数levinson和函数aryule的功能是相同的：
例子：
randn('seed',0)
a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;
r=xcorr(x,'biased');
r(1:length(x)-1)=[];
A=levinson(r,5)
B=aryule(x,5)2．Burg算法：
格式为：A=ARBURG(x,ORDER); 其中x为有限长序列，参数ORDER用于指定AR模型的阶数。以上面的例子为例：
randn(‘seed’,0)
a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;
A=arburg(x,5)
3.改进的协方差法：
格式为：A=ARMCOV(x,ORDER); 该函数用来计算有限长序列x(n)的ORDER阶AR模型的参数。例如：输入下面语句：
randn(‘seed’,0)
a=[1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];
x=impz(1,a,20)+randn(20,1)/20;
A=armcov(x,5)
**AR模型阶数P的选择：
AR模型阶数P一般事先是不知道的，需要事先选定一个较大的值，在递推的过程中确定。在使用Levinson—Durbin递推方法时，可以给出由低阶到高阶的每一组参数，且模型的最小预测误差功率Pmin（相当于白噪声序列的方差）是递减的。直观上讲，当预测误差功率P达到指定的希望值时，或是不再发生变化时，这时的阶数即是应选的正确阶数。
因为预测误差功率P是单调下降的，因此，该值降到多少才合适，往往不好选择。比较常见的准则是：
最终预测误差准则：FPE(r)=Pr{[N+(r+1)]/ [N-(r+1)]}
信息论准则：AIC(r)=N*log(Pr)+2*r
上面的N为有限长序列x(n)的长度，当阶数r由1增加时，FPE(r) 和AIC(r)都将在某一r处取得极小值。将此时的r定为最合适的阶数p。**
MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明：
1． Pyulear函数：
功能：利用Yule–Walker方法进行功率谱估计.
格式： Pxx=Pyulear(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
说明：Pxx =Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，采用Yule–Walker方法估计序列x的功率谱，参数ORDER用来指定AR模型的阶数，NFFT为FFT算法的长度，默认值为256，若NFFT为偶数，则Pxx为（NFFT/2 + 1）维的列矢量，若NFFT为奇数，则Pxx为（NFFT + 1）/2维的列矢量；当x为复数时，Pxx长度为NFFT。
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，返回一个频率向量W.
[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)中，可以在F向量得到功率谱估计的频率点，Fs指定采样频率。
Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)中，直接画出功率谱估计的曲线图。
2． Pburg函数：
功能：利用Burg方法进行功率谱估计。
格式：Pxx=Pburg(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pburg(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pburg(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pburg(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
说明：Pburg函数与Pyulear函数格式相同，只是计算AR模型时所采用的方法不同，因此格式可以参照Pyulear函数。
3． Pcov函数：
功能：利用协方差方法进行功率谱估计。
格式：Pxx=Pcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pcov(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pcov(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
说明：Pcov函数采用协方差法估计AR模型的参数，然后计算序列x的功率谱。协方差法与改进的协方差法相比，前者仅令前向预测误差为最小，其他步骤是一样的。：Pcov函数与Pyulear函数格式相同，只是计算AR模型时所采用的方法不同，因此格式可以参照Pyulear函数.
4.Pmcov:
功能：利用改进的协方差方法进行功率谱估计。
格式：Pxx=Pmcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pmcov(x,ORDER,NFFT)
[Pxx,W]=Pmcov(x,ORDER,NFFT,Fs)
Pmcov(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)
例如：输入下面语句：
figure 8.10–8.11
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:3;
xn=cos(2*pi*n*200)+randn(size(n));
%设置参数
order=20;
nfft=1024;
%Yule-Walker方法
figure(1)
pyulear(xn,order,nfft,Fs);
%Burg方法
figure(2)
pburg(xn,order,nfft,Fs);
%协方差法
figure(3)
pcov(xn,order,nfft,Fs);
%改进协方差方法
figure(4)
pmcov(xn,order,nfft,Fs);
AR谱的分辨率：
经典谱估计的分辨率反比与信号的有效长度,但是现代谱估计的分辨率可以不受此限制. 这是因为对于给定的N点有限长序列x(n)，虽然其估计出的相关函数也是有限长的，但是现代谱估计的一些方法隐含着数据和自相关函数的外推，使其可能的长度超过给定的长度，因而AR谱的分辨率较高。
例如：序列x(n)由两个正铉信号组成，其频率分别为f1=20Hz和f2=21Hz,并含有一定的噪声量。试分别用周期图法，Burg方法与改进的协方差法估计信号的功率谱，且AR模型的阶数取30和50两种情况讨论。
上面的例子可以通过下面程序实现：
Fs=200;
n=0:1/Fs:1;
xn=sin(2*pi*20*n)+sin(2*pi*21*n)+0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));
nfft=512;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);
figure(1)
plot(f,10*log10(Pxx)),grid
xlabel(‘Frequency(Hz)’)
ylabel(‘Power Spectral Density(dB/Hz)’)
title(‘Periodogram PSD Estimate’)
order1=30;
order2=50;
figure(2)
pburg(xn,order1,nfft,Fs)
figure(3)
pburg(xn,order2,nfft,Fs)
figure(4)
pmcov(xn,order1,nfft,Fs)
figure(5)
pmcov(xn,order1,nfft)
C语言实现
01. /*
02. * ar_model.c
03. *
04. * Created on: 2013-8-11
05. * Author: monkeyzx
06. */
07.
08. #include
09. #include
10. #include
11. #include
12. //#include "msp.h"
13. #include "ar_model.h"
14. #include "time.h"
15.
16. float mabs(complex a)
17. {
18. float m;
19.
20. m=a.real*a.real+a.imag*a.imag;
21. m=sqrt(m);
22.
23. return(m);
24. }
25.
26. /*---------------------------------------------------------------------
27. Routine MCORRE1:To estimate the biased cross-correlation function
28. of complex arrays x and y. If y=x,then it is auto-correlation.
29. input parameters:
30. x :n dimensioned complex array.
31. y :n dimensioned complex array.
32. n :the dimension of x and y.
33. lag:point numbers of correlation.
34. output parameters:
35. r :lag dimensioned complex array, the correlation function is
36. stored in r(0) to r(lag-1).
37. in Chapter 1 and 11
38. ---------------------------------------------------------------------*/
39. void mcorre1(complex x[],complex y[],complex r[],int n,int lag)
40. {
41. int m,j,k;
42.
43. for(k=0;k44. m=n-1-k;
45. r[k].real=0.0f;
46. r[k].imag=0.0f;
47. for(j=0;j<=m;j++) {
48. r[k].real+=y[j+k].real*x[j].real+y[j+k].imag*x[j].imag;
49. r[k].imag+=y[j+k].imag*x[j].real-y[j+k].real*x[j].imag;
50. }
51. r[k].real=r[k].real/n;
52. r[k].imag=r[k].imag/n;
53. }
54. return;
55. }
56.
57. /*---------------------------------------------------------------------
58. Routine maryuwa: To determine the autoregressive coefficients by
59. solving Yule-Walker equation with Levinson algorithm.
60. Input Parameters:
61. n : Number of data samples (integer)
62. ip : Order of autoregressive model
63. x : Array of complex data values, x(0) to x(n-1)
64. Output Parameters:
65. ep : Driving noise variance (real)
66. a : Array of complex autoregressive coefficients, a(0) to
67. a(ip)
68. ierror=0 : No error
69. =1 : ep<=0 .
70.
71. r : complex work array, auto-correlation
72. in chapter 12
73. --------------------------------------------------------------------*/
74. void maryuwa(complex x[],complex a[],complex r[],int n,int ip,
75. float *ep,int *ierror)
76. {
77. complex sum;
78. int i,k;
79. float r0;
80.
81. *ierror=1;
82. mcorre1(x,x,r,n,ip+1);
83. a[0].real=1.0;
84. a[0].imag=0.0;
85. r0=r[0].real;
86. a[1].real=-r[1].real/r0;
87. a[1].imag=-r[1].imag/r0;
88. *ep=r0*(1.0f-pow(mabs(a[1]),2));
89. for(k=2;k<=ip;k++) {
90. sum.real=0.;
91. sum.imag=0.;
92. for(i=1;i93. sum.real+=r[k-i].real*a[i].real-r[k-i].imag*a[i].imag;
94. sum.imag+=r[k-i].real*a[i].imag+r[k-i].imag*a[i].real;
95. }
96. sum.real+=r[k].real;
97. sum.imag+=r[k].imag;
98. a[k].real=-sum.real/(*ep);
99. a[k].imag=-sum.imag/(*ep);
100. (*ep)*=1.-pow(mabs(a[k]),2);
101. if(*ep<=0.0)
102. return;
103. for(i=1;i104. x[i].real=a[i].real+a[k-i].real*a[k].real+
105. a[k-i].imag*a[k].imag;
106. x[i].imag=a[i].imag+a[k-i].real*a[k].imag-
107. a[k-i].imag*a[k].real;
108. }
109. for(i=1;i110. a[i].real=x[i].real;
111. a[i].imag=x[i].imag;
112. }
113. }
114. *ierror=0;
115. }
116.
117. /*----------------------------------------------------------------------
118. routinue mrelfft:To perform split-radix DIF fft algorithm.
119.
120. input parameters:
121. xr,xi:real and image part of complex data for DFT/IDFT,n=0,...,N-1
122. N :Data point number of DFT compute .
123. isign:Transform direction disignator ,
124. isign=-1: For Forward Transform.
125. isign=+1: For Inverse Transform.
126.
127. output parameters:
128. xr,xi:real and image part of complex result of DFT/IDFT,n=0,...,N-1
129.
130. Note: N must be a power of 2 .
131. in chapter 5
132. ---------------------------------------------------------------------*/
133. void mrelfft(float xr[],float xi[],int n,int isign)
134. {
135. float e,es,cc1,ss1,cc3,ss3,r1,s1,r2,s2,s3,xtr,xti,a,a3;
136. int m,n2,n4,j,k,is,id,i0,i1,i2,i3,n1,i,nn;
137.
138. for(m=1;m<=16;m++) {
139. nn=pow(2,m);
140. if(n==nn)break;
141. }
142. if(m>16) {
143. #ifdef _DEBUG
144. printf(" N is not a power of 2 ! \n");
145. #endif
146. return;
147. }
148. n2=n*2;
149. es=-isign*atan(1.0)*8.0;
150. for(k=1;k151. n2=n2/2;
152. n4=n2/4;
153. e=es/n2;
154. a=0.0;
155. for(j=0;j156. a3=3*a;
157. cc1=cos(a);
158. ss1=sin(a);
159. cc3=cos(a3);
160. ss3=sin(a3);
161. a=(j+1)*e;
162. is=j;
163. id=2*n2;
164. do {
165. for(i0=is;i0166. i1=i0+n4;
167. i2=i1+n4;
168. i3=i2+n4;
169. r1=xr[i0]-xr[i2];
170. s1=xi[i0]-xi[i2];
171. r2=xr[i1]-xr[i3];
172. s2=xi[i1]-xi[i3];
173. xr[i0]+=xr[i2];
174. xi[i0]+=xi[i2];
175. xr[i1]+=xr[i3];
176. xi[i1]+=xi[i3];
177. if(isign!=1) {
178. s3=r1-s2;
179. r1=r1+s2;
180. s2=r2-s1;
181. r2=r2+s1;
182. } else {
183. s3=r1+s2;
184. r1=r1-s2;
185. s2=-r2-s1;
186. r2=-r2+s1;
187. }
188. xr[i2]=r1*cc1-s2*ss1;
189. xi[i2]=-s2*cc1-r1*ss1;
190. xr[i3]=s3*cc3+r2*ss3;
191. xi[i3]=r2*cc3-s3*ss3;
192. }
193. is=2*id-n2+j;
194. id=4*id;
195. }while(is1);
196. }
197. }
198. /* ------------ special last stage -------------------------*/
199. is=0;
200. id=4;
201. do {
202. for(i0=is;i0203. i1=i0+1;
204. xtr=xr[i0];
205. xti=xi[i0];
206. xr[i0]=xtr+xr[i1];
207. xi[i0]=xti+xi[i1];
208. xr[i1]=xtr-xr[i1];
209. xi[i1]=xti-xi[i1];
210. }
211. is=2*id-2;
212. id=4*id;
213. } while(is1);
214. j=1;
215. n1=n-1;
216. for(i=1;i<=n1;i++) {
217. if(i218. xtr=xr[j-1];
219. xti=xi[j-1];
220. xr[j-1]=xr[i-1];
221. xi[j-1]=xi[i-1];
222. xr[i-1]=xtr;
223. xi[i-1]=xti;
224. }
225. k=n/2;
226. while(1) {
227. if(k>=j)break;
228. j=j-k;
229. k=k/2;
230. }
231. j=j+k;
232. }
233. if(isign==-1) return;
234. for(i=0;i235. xr[i]/=n;
236. xi[i]/=n;
237. }
238. }
239.
240. /*---------------------------------------------------------------------
241. Routine mpsplot: To plot the normalized power spectum curve on the
242. normalized frequency axis from -.5 to +.5 .
243. mfre : Points in frequency axis and must be the power of 2.
244. ts : Sample interval in seconds (real).
245. psdr : Real array of power spectral density values.
246. psdi : Real work array.
247. in chapter 11,12
248. --------------------------------------------------------------------*/
249. void mpsplot(float psdr[],float psdi[],int mfre,float ts)
250. {
251. FILE *fp;
252. char filename[30];
253. int k,m2;
254. float pmax,fs,faxis;
255.
256. m2=mfre/2;
257. for(k=0;k258. psdi[k]=psdr[k];
259. psdr[k]=psdr[k+m2];
260. psdr[k+m2]=psdi[k];
261. }
262. pmax=psdr[0];
263. for(k=1;k264. if(psdr[k]>pmax)
265. pmax=psdr[k];
266. for(k=0;k267. psdr[k]=psdr[k]/pmax;
268. if(psdr[k]<=0.0)
269. psdr[k]=.000001;
270. }
271. fs=1./ts;
272. fs=fs/(float)(mfre);
273. printf("Please input filename:\n");
274. scanf("%s",filename);
275. if((fp=fopen(filename,"w"))==NULL) {
276. printf("cannot open file\n");
277. exit(0);
278. }
279. for(k=0;k280. faxis=fs*(k-m2);
281. fprintf(fp,"%f,%f\n",faxis,10.*log10(psdr[k]));
282. }
283. fclose(fp);
284. return;
285. }
286.
287. /*----------------------------------------------------------------------
288. Routine mar1psd: To compute the power spectum by AR-model parameters.
289. Input parameters:
290. ip : AR model order (integer)
291. ep : White noise variance of model input (real)
292. ts : Sample interval in seconds (real)
293. a : Complex array of AR parameters a(0) to a(ip)
294. Output parameters:
295. psdr : Real array of power spectral density values
296. psdi : Real work array
297. in chapter 12
298. ---------------------------------------------------------------------*/
299. void mar1psd(complex a[],int ip,int mfre,float *ep,float ts)
300. {
301. static float psdr[4096];
302. static float psdi[4096];
303. int k;
304. float p;
305.
306. for(k=0;k<=ip;k++) {
307. psdr[k]=a[k].real;
308. psdi[k]=a[k].imag;
309. }
310. for(k=ip+1;k311. psdr[k]=0.;
312. psdi[k]=0.;
313. }
314. mrelfft(psdr,psdi,mfre,-1);
315. for(k=0;k316. p=pow(psdr[k],2)+pow(psdi[k],2);
317. psdr[k]=(*ep)*ts/p;
318. }
319.
320. mpsplot(psdr,psdi,mfre,ts);
321.
322. return;
323. }
324.
325.
326. /*
327. * Below are examples for using @maryuwa and @mar1psd
328. */
329. #define PI (3.1415926)
330. #define N (1024)
331. #define AN (10)
332. complex x[N];
333. complex r[N];
334. complex a[AN];
335.
336. /*
337. * generate random number which satify guass distribution
338. */
339. double guass_rand(void)
340. {
341. static double V1, V2, S;
342. static int phase = 0;
343. double X;
344.
345. if ( phase == 0 ) {
346. do {
347. double U1 = (double)rand() / RAND_MAX;
348. double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;
349.
350. V1 = 2 * U1 - 1;
351. V2 = 2 * U2 - 1;
352. S = V1 * V1 + V2 * V2;
353. } while(S >= 1 || S == 0);
354.
355. X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S);
356. } else {
357. X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S);
358. }
359.
360. phase = 1 - phase;
361.
362. return X;
363. }
364.
365. void zx_ar_model(void)
366. {
367. int i=0;
368. float ep = 0;
369. int ierror = 0;
370.
371. /*
372. * generate x[N]
373. */
374. srand(time(NULL));
375. for (i=0; i376. x[i].real = sin(2*PI*i/N) + guass_rand();
377. x[i].imag = 0;
378. }
379.
380. /* Find parameters for AR model */
381. maryuwa(x, a, r, N, AN, &ep, &ierror);
382.
383. /* Calculate power spectum using parameters of AR model */
384. mar1psd(a, AN, N, &ep, 1);
385. }
01. /*
02. * main.c
03. *
04. * Created on: 2013-8-11
05. * Author: monkeyzx
06. */
07. #include "ar_model.h"
08.
09. int main(void)
10. {
11. zx_ar_model();
12.
13. return 0;
14. } 上面的实例中给定输入信号为余弦信号，采样点数为1024个点，通过计算后的功率谱通过mpsplot函数保存到文本文件output.txt中，保存格式如下：
-0.500000,-15.334630
-0.499023,-15.334833
……
最后借助matlab读取该文件，绘制出功率谱的图形
data = load('output.txt');
plot(data(:,1),data(:,2)); 关于上面的C程序，这里只提与主题无关的，double guass_rand(void)是C语言中典型的生成高斯分布随机数的发生器，这里用于在余弦函数上加上一个高斯的噪声。
感谢：http://blog.csdn.net/heycwn/article/details/45867737
用最小二乘法求AR模型
AR(Autoregressive)模型（自回归模型）：用同一变量之前的表现情况来预测该变量现在或未来的表现情况，这种预测方法只与变量自己有关，而与其他变量无关，所以称作是自回归。
数学定义模型:假定AR模型是p阶的，对于一组时间序列有观测值{x[1],x[2],…..x[N]}，计算t时刻x的预测值x[t]，其自回归方程：
x[t]=a[1]x[t-1]+a[2]x[t-2]….+a[p]x[t-p]+u[t],1<=p
import numpy;
import math;
#计算某一个k值的ACF
def auto_relate_coef(data,avg,s2,k):
ef=0.;
for i in range(0,len(data)-k):
ef=ef+(data[i]-avg)*(data[i+k]-avg);
ef=ef/len(data)/s2;
return ef;
#计算k从0到N-1所有ACF
def auto_relate_coefs(sample):
efs=[];
data=[];
avg=numpy.mean(sample);
s2=numpy.var(sample);
array=sample.reshape(1,-1);
for x in array.flat:
data.append(x);
for k in range(0,len(data)):
ef=auto_relate_coef(data,avg,s2,k);
efs.append(ef);
return efs;对于平稳时间序列而言，ACF系数随k值的增加衰减到0的速度比非平稳随机序列更快。基于这点可以看出序列{1978-2014人口死亡率}是平稳的。
2.AR模型参数计算与定阶
由上述的AR(p)方程可得到预测值{y[p],y[p+1]….y[N]}
y[p+1]=a[p]x[1]+a[p-1]x[2]….a[1]x[p]
y[p+2]=a[p]x[2]+a[p-1]x[3]….a[1]x[p+1]
…….
y[N]=a[p]x[N-p]+a[p-1]x[N-p+1]……a[1]*x[N-1]
将上述方程组写成矩阵形式有：
Y[N-p,1]=X[N-p,p] dotA[p,1]
其中[row,col]代表 row行col列的矩阵，dot代表矩阵点乘运算。
令X的转置运算为XT，逆矩阵运算为XI。
根据最小二乘的原则，得到参数的计算公式为：
A=(XT dot X)I dot XTdotY
根据该计算公式容易得到p阶AR模型参数与预测值计算代码：
def ar_least_square(sample,p): matrix_x=numpy.zeros((sample.size-p,p)); matrix_x=numpy.matrix(matrix_x);
array=sample.reshape(sample.size);
j=0;
for i in range(0,sample.size-p):
matrix_x[i,0:p]=array[j:j+p];
j=j+1;
matrix_y=numpy.array(array[p:sample.size]);
matrix_y=matrix_y.reshape(sample.size-p,1);
matrix_y=numpy.matrix(matrix_y);
#fi为参数序列
fi=numpy.dot(numpy.dot((numpy.dot(matrix_x.T,matrix_x)).I,matrix_x.T),matrix_y);
matrix_y=numpy.dot(matrix_x,fi);
matrix_y=numpy.row_stack((array[0:p].reshape(p,1),matrix_y));
return fi,matrix_y; 知道如何计算参数还不够，还得为AR模型选择一个最优的p值，也就是定阶。
定阶一般步骤为：
(1)确定p值的上限，一般是序列长度N的比例或是lnN的倍数。
(2)在不超过max(p)值的前提下，从1开始根据某一原则确定最优p；
本例中我将p值的上限设为N/2=18，定阶准则用AIC(最小信息准则)和SC(施瓦茨准则)，根据两个准则求得的估计量越小说明阶数越优。
AIC=2p+Nln(σ^2) SC=pln(N)+Nln(σ^2)
σ^2是观测值与预测值之间残差的方差。
def ar_aic(rss,p):
n=rss.size;
s2=numpy.var(rss);
return 2*p+n*math.log(s2);
def ar_sc(rss,p):
n=rss.size;
s2=numpy.var(rss);
return p*math.log(n)+n*math.log(s2); p=18时候，AR(18)的拟合效果最好，几乎一模一样。AR(10)虽然效果不如AR(18)，但是扰动在可接受范围内，AR(19)简直丧病，偏离太多。
3.拟合度检验
将AR方程变为下式：
u[t]=x[t]-a[1]x[t-1]-a[2]x[t-2]-….-a[p]x[t-p]
若u[t]是服从N(0,σ^2)的白噪声，则可认为AR(p)是可接受的模型。
本例中用AR(18)计算出的残差u[t],平均值为1.06*10^-6,方差为4.2*10^-4
u[t]的自相关系数图可以看出残差近似服从N(0,σ^2)，因此AR(18)是可以用来拟合和预测的。
总结：
本例采用最小二乘法计算AR模型参数，求得的AR(18)模型效果不俗，缺点在于最小二乘法涉及大量矩阵点乘运算，比较耗时。不止AR模型，还有MA,ARMA,ARIMA模型可以用来拟合和预测平稳时间序列，建模步骤基本一致，相比于AR和MA，ARMA和ARIMA的效果更好。
感谢：
http://blog.csdn.net/u014557232/article/details/50986298
关于定阶
四种常用的AR模型定阶方法：矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）定阶法、最小预测定误差阶准则（Final Prediction Error Criterion, FPE）、AIC定阶准则（Akaika’s Information theoretic Criterion, AIC）以及BIC定阶准则。
MATLAB的hosa工具箱中的arorder函数应用的是SVD定阶法。它是通过对Yule-Walker方程中的自相关矩阵进行SVD分解来实现的。
其他三种算法的基本思想都是建立目标函数，阶次估计的标准是使目标函数最小化。FPE和AIC定阶准则都是由Akaike（大牛）提出的。 FPE（k)=(N+k+1)/(N-k-1)*delta。AIC(k)=log(delta)+2k/N。BIC定阶准则为BIC(k)=Nlog(delta)+k*lnN。(N:数据点数，k:阶数,delta:方差)。BIC准则适宜于低阶数的AR模型，FPF,AIC适用于选择高阶的AR模型。