矩阵快速幂笔记

矩阵快速幂

常规求幂

求$a^n$的值，如果用纯for循环，要循环n次乘a。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：S(1)

递归

与二分法异曲同工。
例：
$$a^{57}=\{\begin{array}{cc}{a}^{28}& \{\begin{array}{cc}{a}^{14}& \{\begin{array}{cc}{a}^7& \{\begin{array}{cc}{a}^3& \{\begin{array}{c}a\\ a\\ a\end{array}\\ a^3& \\ a& \end{array}\\ a^7& \end{array}\\ a^{14}& \end{array}\\ a^{28}& \\ a& \end{array}$$
只需要将幂次二分，取平方（再乘a）即可。
$$\begin{gathered} a^{2k}=\{\begin{array}{l}{a}^k\\ a^k\end{array} \\ {a}^{2k+1}=\{\begin{array}{l}{a}^k\\ a^k\\ a\end{array} \end{gathered}$$
时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(logn)

快速幂

对n进行二进制分解。
例：求解$a^{57}$

1. 将57转为二进制111001，对二进制为1的位取值，即
   $a^{57}=a^1\ast a^8\ast a^{16}\ast a^{32}$
2. 求每位二进制的值：
   1. 初始化a = 1
   2. 从低位起，每位二进制值为a *= a
3. 将二进制为1的位取值相乘。

public int MOD = 1000000007;

public static int qp(int a, int n) {
    int ans = 1;
    while (n > 0) {
        if ((n&1) == 1) {
            ans = (int) (((long)ans * a) % MOD);
        }
        a = (int) (((long)a * a) % MOD);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

矩阵快速幂

矩阵乘法求解递归状态转移

以求解斐波那契数列为例

$$f(n)=\{\begin{array}{ll}f(n-1)+f(n-2)& n>1\\ 1& 0<=n<=1\end{array}$$

利用矩阵乘法
$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n-2)\\ f(n-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n)\end{array}\right]$$

设定矩阵为A
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$
则可以分解最终矩阵为
$$\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n+1)\end{array}\right]=A^n\left[\begin{array}{c}f(0)\\ f(1)\end{array}\right]$$

确定矩阵A

任意状态转移方程均可确定矩阵A，例：
$$\begin{gathered} f(n)=3f(n-1)+6f(n-2)-7f(n-3) \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -7& 6& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(0)\\ f(1)\\ f(2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(1)\\ f(2)\\ f(3)\end{array}\right] \\ A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -7& 6& 3\end{array}\right] \end{gathered}$$

java 代码实现

public static int[][] matrix_qp(int n) {
    //以斐波那契数列为例
    //矩阵A
    //0 1
    //1 1
    int[][] A = new int[2][2];
    A[0][0] = 0;
    A[0][1] = A[1][0] = A[1][1] = 1;

    //斐波那契数列0 1矩阵
    //1 0
    //1 0
    int[][] F = new int[2][2];
    F[0][0] = F[1][0] = 1;
    F[0][1] = F[1][1] = 0;

    return matrix_multi(matrix_mi(A, n), F);
}

public static int[][] matrix_multi(int[][] a, int[][] b) {
    int[][] ans = new int[2][2];
    for (int i = 0; i < 2; ++i)
        for (int j = 0; j < 2; ++j)
            for (int k = 0; k < 2; ++k)
                ans[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
    return ans;
}

public static int[][] matrix_mi(int[][] a, int n) {
    int[][] ans = new int[2][2];
    ans[0][0] = ans[1][1] = 1;
    while(n > 0) {
        if ((n&1) == 1)
            ans = matrix_multi(ans, a);
        a = matrix_multi(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

public static void show_matrix(int[][] a) {
    System.out.println("Matrix");
    for (int i = 0; i < a.length; ++i) {
        for (int j = 0; j < a[i].length; ++j)
            System.out.print(a[i][j] + " ");
        System.out.println();
    }
}

上述代码未作模运算。

做模运算时需注意：

当矩阵包含负数时，要保证被模数大与0

(a%c - b%c + c)%c

参考资料

矩阵快速幂 - b站