Day9：最大公约数、最小公倍数(欧几里得算法），素数筛法

一、最大公约数

• 题目描述

输入两个正整数，求其最大公约数。

• 输入描述

测试数据有多组，每组输入两个正整数。

• 输出描述

对于每组输入,请输出其最大公约数。

• 示例输入

49 14

• 示例输出

7

解题思路

a、b的最大公约数同时也是b、a mod b的最大公约数。转化为求b、a mod b的最大公约数，问题不变而数据规模明显变小。不断重复此过程，直到问题缩小成求某个非0数与0的最大公约数，则该非0数即是所求。

欧几里得算法：
(1)若a、b全为零，则最大公约数不存在；
(2)若a、b其中之一为零，则最大公约数为非零的那个；
(3)若a、b都不为零，则使新a=b；新b=a%b然后重复该过程。

代码9.1

#include 

int gcd(int a, int b){
    if(b == 0) 
        return a;
    else
        return gcd(b, a % b);
}
int main()
{
    int a, b;
    while(scanf("%d%d",&a, &b) != EOF)
    {
        printf("%d\n",gcd(a, b));
        //若求最小公倍数，a*b/最大公约数 即可
        //printf("%d\n",a * b / gcd(a, b);
    }
}

二、素数判定

• 题目描述

给定一个数n，要求判断其是否为素数（0,1，负数都是非素数）。

• 输入描述

测试数据有多组，每组输入一个数n。

• 输出描述

对于每组输入,若是素数则输出yes，否则输入no。

• 示例输入

13

• 示例输出

yes

解题思路

素数即只能被自身和1整除的大于1的正整数，只需要测试位于区间[2,sqrt(n))之间的正整数是否均不能整除n，若均不能整除n，则判定n为素数。

代码9.2

#include 
#include 

bool judge(int n)
{
    if(n <= 1) return false;
    int bound = (int)sqrt(n) + 1; //枚举上界，为防止double值带来的精度损失，根号取整后多+1
    for(int i = 2; i < bound; i++){
        if(n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF)
    {
        if(judge(n) == true)
            printf("yes\n");
        else
            printf("no\n");
    }    
}

三、素数筛法

• 题目描述

输入一个整数n(2<=n<=10000)，要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，如果没有则输出-1。

• 输入描述

输入有多组数据。每组一行，输入n。

• 输出描述

输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数(素数之间用空格隔开，最后一个素数后面没有空格)，如果没有则输出-1。

• 示例输入

100

• 示例输出

11 31 41 61 71

解题思路

素数筛法：从2开始遍历2到10000的所有整数，若当前整数没有被标记成非素数，则判定为素数，并将其所有倍数标记为非素数。继续遍历下一个数，直到遍历完。此时所有没被标记成非素数的数即为筛选出来的素数。

代码9.3

#include 

int prime[10000]; //保存筛得的素数
int primeSize = 0; //保存的素数个数
bool mark[10001]; //mark[x]为true，表示x被标记为非素数
void init() //素数筛法
{
    for( int i = 1; i <= 10000; i++)//初始化，所有数字均为被标记
    {
        mark[i] = false;
    }
    for(int i = 2; i <= 10000; i++)
    {
        if(mark[i] == true )continue; //若该数字已被标记为非素数，跳过
        prime[primeSize++] = i; //否则为素数
        for( int j = i*i; j <= 10000; j +=i)//并将该素数的所有倍数标记为非素数
        {
            mark[j] = true;
        }
    }
}
int main(){
    init(); //素数筛法，保存2-10000之间的所有素数
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        bool isOutput = false;
        for(int i = 0; i < primeSize; i++)
        {
            if(prime[i] < n && prime[i] % 10 == 1)
            {
                if(isOutput == false){//第一个输出的素数，之前不需要加空格
                    printf("%d", prime[i]);
                    isOutput = true;
                }
                else{
                    printf(" %d",prime[i]);//输出前加空格
                }
            }
        }
        if(isOutput == false)//不存在符合条件的素数
        {
            printf("-1\n");
        }
        else printf("\n");
    }
    return 0;
}