谈谈无穷小微积分对我国微积分教学改革的影响

       在7月10日上传互联网的”基础微积分后记（Epilogue)“袖珍电子书中，J.Keisler将微积分学创立初期分为三个类型：

        (1) The ratio of an infinitesimal change in y to an infinitesimal change in x ( The infinitesimal method.)

   (2) The limit of the ratio of the change in y to the change in x, Δy/Δx, as Δx approaches zero. (The limit method.)

   (3) The velocity of y where x denotes time. (The velocity method.)

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也就是说，原始状态的微积分分学为三个类型：（1）无穷小类型；（2）极限类型；（3）速度类型。值得我们注意的是，在那个时候，Leibniz认为无穷小如同““ideal”numbers like the imaginarynumbers”，也就是说，Leibniz认为无穷小是一类”理想数“，类似于“虚数”，完全可以参与算术运算，和普通数字一样。这种想法对不对呢？有这种”无穷小“数字吗？

           进入上世纪六十年代，美国数学家A.Robinson创立”非标准分析“，改进了当年Leibniz的数学推理方法，使得”无穷小微积分“重新复活。1976年，J.Keisler在A.Robinson工作的基础上，为大学低年级学生撰写了一本教材“基础微积分”（无穷小方法），时至今日，渐渐流行起来。

          今年6月18日，一项“无穷小袖珍电子书计划”正式启动，其目的是全面引进J.Keisler“无穷小微积分”，改变国内微积分教学的落后状况（即“非公理化”老传统）。微积分学还能“公理化”？真是匪夷所思也。实际上，J.Keisler撰写的《基础微积分》就是一本公理化的微积分学教程典范。这本教材的引进开阔了国内数学界同仁的学术视野，提高了数学公理化的理论水平。

          上世纪数学的最大进展就是数学的全面公理化（基于现代集合论）。在袖珍电子书“基础微积分后记（Epilogue）”里面，J.Keisler列举了微积分学的公理体系，简明扼要，一目了然。该袖珍电子书上传互联网不足一个月，阅读人数达到上千人次。可以说，微积分学公理化的新鲜空气已经进入国内学术界，传统令人窒息的（ε，δ）极限论“雾薶”渐渐散去，人们呼吸到数学公理化的新鲜空气，天空中出现了一片蔚蓝色，......

             说明：至今，我们还没有发现，有人（即某种社会势力）企图站出来阻挡微积分袖珍电子书上传互联网的迹象，......前面的路虽然漫长，但是，这条路是通向未来的光明之路。