七参数空间直角坐标系坐标转换

一、引言
在测绘领域中，经常遇到不同空间直角坐标系之间转换的问题，比如在空间大地测量，摄影测量以及GIS，GPS在测量中经常会用到WGS-84坐标系与我国北京54坐标系或与地方坐标系之间的转换，空间直角坐标转换的七参数模型主要有1.布尔莎模型；2.莫洛琴斯基模型；3.武测模型。
目前大多实际应用多采用布尔莎模型（即包含3个坐标平移参数，3个角度旋转参数和1个尺度缩放参数），以下将讨论基于布尔莎模型的小旋转角，以及大旋转角的空间直角坐标的转换问题。
二、空间直角坐标系坐标转换原理
2.1 空间直角坐标系的概念
空间直角坐标系的坐标原点为椭球的中心，X轴为赤道面和起始子午面的交线；将在赤道面上并与X轴垂直的方向定为Y轴；坐标系的Z轴为椭球的旋转轴，由此构成右手直角坐标系O-XYZ。在空间直角坐标系中，空间中某点的坐标用该点在三个坐标轴上的投影表示，和大地坐标系是一一对应的
2.2 布尔莎模型
如图所示，设有两个空间直角坐标系O-XYZ和O’-X’Y’Z’，这两个坐标系的原点不相一致，即存在三个平移参数、、，它们是O-XYZ坐标系原点O在O’-X’Y’Z’中的坐标；当各坐标轴相互不平行，即存在三个旋转参数、、；两个坐标系的尺度也不一致，设O-XYZ的尺度为1，而设O’-X’Y’Z’的尺度为1+m，尺度变化为m。
采用布尔沙模型将O’-X’Y’Z’下坐标转换为O-XYZ下坐标的步骤为：
（1）将O-XYZ绕X轴顺时针旋转角，使经过旋转后的Y轴与O’-X’Y’Z’平面平行；
（2）将O-XYZ绕Y轴顺时针旋转角，使经过旋转后的 Z轴与 O’-X’Y’Z’平面平行；
（3）将O-XYZ绕Z轴顺时针旋转角，使经过旋转后的X轴与O’-X’Y’Z’平面平行；此时O-XYZ的三个坐标轴己与O’-X’Y’Z’中相应的坐标轴平行；
（4）将O-XYZ的原点分别沿X移动，Y移动和Z移动，使原坐标系与O’-X’Y’Z’的原点重合。
（5）将O-XYZ中的长度单位缩放l+m倍，使其与O’-X’Y’Z’的长度单位一致。

可用数学公式将该转换过程表达如下：
（2.1）
其中：

今令：
（2.2）
其中：

通常情况，不同基准的大地坐标系之间的3个欧勒角都是非常小，属于微小量，因此可用等价无穷小替换化简R矩阵；，，，，，
这样矩阵R可表示为：
（2.3）
从而采用布尔沙模型将O-XYZ下坐标转换为O’-X’Y’Z’下坐标的公式可表示为：
（2.4）
将上式进一步整转换值可写为如下形式：
（2.5）
这样，只要至少已知三个点的两个坐标系的坐标就可以确定中的七个参数（△X，△Y， △Z，，，，m），从而确定两个坐标系的转换关系模型。因为满足计算条件的最少的三个公共点对应着9个方程，所以七个转换参数必须通过平差进行计算。
根据上式列出计算七参数的数学模型，由于测量中包含误差，由上式可以得到关于每个公共点的七参数的误差方程
（2.6）
根据上式列出所有n（）个公共点的误差方程，再将上式写成矩阵的形式
（2.7）
形式的误差方程组，一般定义P为单位阵，则可以利用间接平差的方法计算七个转换参数。
其中：
——改正数向量
——待求参数向量
——系数矩阵
——常数项向量
——权矩阵（一般为单位阵）
根据间接平差的最小二乘原理，为原则，可得间接平差的法方程为：
（2.8）
其解为：
（2.9）