2020.03.22日常总结

$$\text{洛谷P1395 会议}$$

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$\text{【题意】：}$

• 给定一棵无根树，定义 $u$ 到 $v$ 的距离为简单路径 $(u,v)$ 上的边的数量。我们把它记为 $T_{u,v}$。
• 定义以 $u$ 为该无根树时的花费为 $\sum _{i=1}^n{T}_{u,i}$。即所有点到根 $u$ 的距离和。我们把它记为 $G_u$。
• 求一个点 $u$，使得 $G_u$ 最小。输出 $u$ 和 $G_u$。如有多解，则输出最小的 $u$。
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 5\times 10^4$。

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$\text{【思路】：}$

对于无根树类的题目，我们可以先指定一个点当作根。然后再考虑。

具体地，我们先求出以 $1$ 为根时以每个点 $u$ 为根的子树的大小 $f_u$ 及 $G_1$。

考虑根从点 $u$ 转移到它的一个儿子 $v$ 时总花费的变化量。可以发现，有等量关系 $G_v=G_u-f_v+(n-f_v)$。

什么意思？即 $v$ 的所有儿子到根的距离都减少了 $1$，但是所有不是 $v$ 的儿子到根的距离都增加了 $1$。我们可以根据这个来算出所有的 $G$。可以配图理解 （图丑请原谅）。

总的时间复杂度为 $O(n)$。可以通过更大的数据（比如 $1\times 10^6$）。

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$\text{【代码】：}$