堆

（二叉）堆数据结构是一种数组对象，是一个完全的二叉树
二叉堆有两种：最大堆和最小堆
二叉树的层次遍历结果与数组元素的顺序对应，树根为A[1]。对于数组中第i个元素

PARENT(i)  
    return i/2  
LEFT(i)  
    return 2i  
RIGHT(i)  
    return 2i+1 

涉及过程：
MAX-HEAPIFY过程，运行时间为O(lgN),加入A[i]小于其子节点，MAX-HEAPIFY会使A[i]下降，子节点上升，是保持最大堆性质的关键
BUILD-MAX-HEAP过程，以线性时间运行，在无序的输入数组基础上构造出最大堆
HEAPSORT过程，运行时间为O(nlgN),对一个数组原地进行排序

保持堆的性质

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时间复杂度为：T(n) <= T(2/3n)+O(1)
伪代码：

MAX-HEAPIFY(A,i)：
l<- LEFT(i)
r<- RIGHT(i)
//----在节点和左右子节点中得到最大数，heap-size[A]代表存放在数组A的堆长度
if l<=heap-size[A] and A[l] > A[i]
  then largest <- l
  else largest <- i
if r<=heap-size[A] and A[r] > A[largest]
  then largest <- r
//----
//当前节点小于子节点就下降，并递归直到正确位置
if largest != i
  then exchange A[i]<- A[largest]
    MAX-HEAPIFY(A,largest)

建堆

建立最大堆的过程是自底向上地调用最大堆调整程序将一个数组A[1.....N]变成一个最大堆。将数组视为一颗完全二叉树，从其最后一个非叶子节点（n/2）开始调整。调整过程如下图所示：
时间复杂度为 O(n)

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伪代码：

BUILD-MAX-HEAP(A)：
heap-size[A] <- length[A]
for i<-length[A]/2 downto 1 (直到i=1结束，包括1)
  MAX-HEAPIFY(A,i)

堆排序算法

堆排序算法过程为：先调用创建堆函数(BUILD-MAX-HEAP)将输入数组A[1...n]造成一个最大堆，使得最大的值存放在数组第一个位置A[1]，然后用数组最后一个位置元素与第一个位置进行交换，并将堆的大小减少1，并调用最大堆调整函数从第一个位置调整最大堆。给出堆数组A={4,1,3,16,9,10,14,8,7}进行堆排序简单的过程如下：
时间复杂度为O(nlogn)
（1）创建最大堆，数组第一个元素最大，执行后结果下图：

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（2）进行循环，从length(a)到2，并不断的调整最大堆，给出一个简单过程如下：

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伪代码：

HEAPSORT(A)：
BUILD-MAX-HEAP(A)
for i<-length[A] downto 2
   do exchange A[1] <- A[i]
        heap-size[A] <- heap-size[A] - 1
        MAX-HEAPIFY(A,1)

链接
http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/23/2873422.html