51nod 1355 斐波那契的最小公倍数 （数论+莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题目大意：斐波那契数列定义如下：
F(0) = 0 F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
给出n个正整数a1, a2,…… an，求对应的斐波那契数的最小公倍数，由于数字很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

题解

首先需要知道斐波那契数列的一个性质

gcd(f[a],f[b])=f[gcd(a,b)]

这个怎么证明？先证明 gcd(f[a],f[a+1])=1
f[0]=1,f[1]=1,gcd(f[0],f[1])=1
利用更相减损， gcd(f[a],f[a+1])=gcd(f[a],f[a]+f[a−1])=gcd(f[a],f[a−1]) ，最终得到 gcd(f[a],f[a+1])=gcd(f[0],f[1])
还需要用到一个式子

f[n+m]=f[n+1]f[m]+f[n]f[m−1]

这道题有一种有趣的组合的证明方法（摘自小火车的论文）


gcd(f[a],f[b])=gcd(f[a],f[a]f[b−a+1]+f[a−1]f[b−a])=gcd(f[a],f[a−1]f[b−a])
因为 gcd(f[a],f[a−1])=1 ，那么 gcd(f[a],f[b])=gcd(f[a],f[b−a]) ,可以递归，就是辗转相除嘛。那么上面的问题得证。

lcm(f[a],f[b])=f[a]f[b]f[gcd(a,b)]

设读入的下标构成的集合为 S ，那么

lcm=∏T∈S,T≠∅f[gcd(T)](−1)|T|−1,其中gcd(T)表示的是集合T中所有数的最大公约数

然后考虑枚举 gcd(T)=i

lcm=∏i=1maxf[i]∑T∈S,T≠∅,gcd(T)=i(−1)|T|−1

式子的瓶颈在于 gcd(T)=i ,我们可以利用莫比乌斯反演进行转化。
设 g(i)=∑T∈S,T≠∅,gcd(T)=i(−1)|T|−1,h(i)=∑T∈S,T≠∅,i|gcd(T)(−1)|T|−1
T≠∅ 比较讨厌，我们发现空集比较讨厌，考虑直接提出来。然后再把指数中的 −1 提出来，式子可以化简成

h(i)=1−∑T∈S,i|gcd(T)(−1)|T|

∑T∈S,i|gcd(T)(−1)|T|=∑|S|i=0(−1)i∗C(|S|,i),C表示组合数
其实就是杨辉三角中某一行的偶数列的和-奇数列的和，在 |S|>0 是式子的值恒等于0
所以

h(i)=[下标中有i的倍数]

根据莫比乌斯反演

g(n)=∑d|nh(d)∗μ(dn)

那么 lcm=∏i=1maxf[i]g[i] 可以用 O(nlogn) 的时间预处理 g[i] 数组，然后再用快速幂求解。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#define N 1000003
#define p 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int mu[N],a[N],cnt[N],h[N],g[N],n,pd[N],prime[N],f[N];
LL quickpow(LL num,int x)
{
    LL ans=1,base=num%p;
    x=(x%(p-1)+p-1)%(p-1);
    while (x) {
        if (x&1) ans=ans*base%p;
        x>>=1;
        base=base*base%p;
    }
    return ans;
}
void init(int n)
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) {
        if (!pd[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0];j++) {
            if (prime[j]*i>n) break;
            pd[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    f[0]=0; f[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%p;
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        if (!h[i]) continue;
        for (int j=i;j<=n;j+=i) g[i]+=h[j]*mu[j/i];
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    int mx=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),mx=max(a[i],mx);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        for (int x=1;x*x<=a[i];x++)
         if (a[i]%x==0) h[x]=1,h[a[i]/x]=1;
    }
    init(mx);
    LL ans=1;
    for (int i=1;i<=mx;i++)
     ans=ans*quickpow(f[i],g[i])%p;
    printf("%lld\n",ans);
}