OpenCV之卷积得到二阶导数

设图像中每个像素点的值为 f(x) f ( x ) ，对其做泰勒展开。

f(x+h)=f(x)+hf′(x)+12h2f″(x)+13!h3f‴(x)+O(h4) f ( x + h ) = f ( x ) + h f ′ ( x ) + 1 2 h 2 f ″ ( x ) + 1 3 ! h 3 f ‴ ( x ) + O ( h 4 )

f(x−h)=f(x)−hf′(x)+12h2f″(x)−13!h3f‴(x)+O(h4) f ( x − h ) = f ( x ) − h f ′ ( x ) + 1 2 h 2 f ″ ( x ) − 1 3 ! h 3 f ‴ ( x ) + O ( h 4 )

将两式相加，得到：

f(x−h)−2f(x)+f(x+h)h2=f″(x)+O(h2) f ( x − h ) − 2 f ( x ) + f ( x + h ) h 2 = f ″ ( x ) + O ( h 2 )

h=1 h = 1 的时候，直接将矩阵

[1−21] [ 1 − 2 1 ]

对图像一行一行的做卷积就可以得到每个点 x x 方向的二阶导数， y y 方向同理，把那个矩阵竖过来就可以了。

将两个矩阵相加，把矩阵

⎡⎣⎢⎢0101−41010⎤⎦⎥⎥ [ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 ]

对整个图卷积一遍可以同时得到两个方向的二阶导数。

……代码写的丑请多见谅

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace cv;

int canny[5][5];

void init(){
    canny[1][1]=0,  canny[1][1]=1,  canny[1][3]=0;
    canny[2][1]=1,  canny[2][2]=-4, canny[2][3]=1;
    canny[3][1]=0,  canny[3][2]=1,  canny[3][3]=0;
}

Mat Do_X_Slow_Convolution(Mat img){
    Mat ans;
    img.copyTo(ans);
    for (int i=0;ifor (int j=0;jif (j==0||j==img.cols-1)    continue;
            ans.at(i,j)=img.at(i,j-1)-2*img.at(i,j)+img.at(i,j+1);
        }
    }
    return ans;
}

Mat Do_Y_Slow_Convolution(Mat img){
    Mat ans;
    img.copyTo(ans);
    for (int i=0;ifor (int j=0;jif (i==0||i==img.rows-1)    continue;
            ans.at(i,j)=img.at(i-1,j)-2*img.at(i,j)+img.at(i+1,j);
        }
    }
    return ans;
}

Mat Do_XandY_Slow_Convolution(Mat img){ // 灰度图
    int row=img.rows;
    int col=img.cols;
    Mat ans;
    img.copyTo(ans);
    for (int i=0;ifor (int j=0;jif (i==0||i==row-1||j==0||j==col-1){
                continue;
            }
            int tmp=0;
            for (int u=1;u<=3;u++){
                for (int v=1;v<=3;v++){
                    int Pixel_Value=img.at(i+u-2,j+v-2);
                    tmp+=Pixel_Value*canny[4-u][4-v];
                }
            }
            ans.at(i,j)=tmp;
        }
    }
    return ans;
}

int main(){
    init();
    Mat src;
    src=imread("/Users/hxh/Desktop/2.jpg",0);
    namedWindow("src",WINDOW_AUTOSIZE);
    namedWindow("res",WINDOW_AUTOSIZE);
    namedWindow("resX",WINDOW_AUTOSIZE);
    namedWindow("resY",WINDOW_AUTOSIZE);
    Mat res=Do_XandY_Slow_Convolution(src);
    Mat resX=Do_X_Slow_Convolution(src);
    Mat resY=Do_Y_Slow_Convolution(src);
    imshow("src",src);
    imshow("res",res);
    imshow("resX",resX);
    imshow("resY",resY);
    waitKey(0);
    return 0;
}