GCD(i,j)求和 （莫比乌斯函数）（CJOJ2512）

题意：

求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{m}gcd(i,j)$
n,m=1e7

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$O(N)$版本：

换成因子角度，设：$gcd(i,j)=d,min(n,m)=N$，有：$$Ans=\sum _{d=1}^{N}d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)==d]=\sum _{d=1}^{N}d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)==1]$$而$gcd==d$按照套路可以进行莫比乌斯的倍数反演：$$\begin{gathered} g(d,n,m)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)==d] \\ 构造：f(d,n,m)=\sum _{d|D}g(D,n,m)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[d|gcd(i,j)]=[\frac{n}{d}][\frac{m}{d}] \\ 反演：g(d,n,m)=\sum _{d|D}^{min(n,m)}u(\frac{D}{d})f(D)=\sum _{d|D}^{min(n,m)}u(\frac{D}{d})[\frac{n}{D}][\frac{m}{D}] \\ 而我们所求为gcd==1，所以：g(1,n,m)=\sum _{i=1}^{N}u(i)[\frac{n}{i}][\frac{m}{i}] \\ Ans=\sum _{d=1}^{N}d\ast g(1,\frac{n}{d},\frac{m}{d}) \\ Ans=\sum _{d=1}^{N}d\sum _{i=1}^{\frac{N}{d}}u(i)[\frac{n}{i\ast d}][\frac{m}{i\ast d}] \end{gathered}$$同样，到这里两个分块时间复杂度为O(N)

#include
using namespace std;
#define LL long long
const int  N = 1e7+9;
const LL mod = 998244353;
LL u[N];
LL pri[N>>1],now;
bool vis[N];
void init(){                            //预处理莫比乌斯函数前缀和
    vis[1]=1;u[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i])pri[++now]=i,u[i]=-1;
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<N;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            u[pri[j]*i]=-u[i];
            if(i%pri[j]==0){u[pri[j]*i]=0;break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)u[i]=u[i]+u[i-1];
}

LL solve(LL n,LL m){
    LL ans=0;
    LL NN=min(n,m);
    for(LL l=1,r;l<=NN;l=r+1){          //[(n/d)/i][(m/d)/i] 分块
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        LL re=(u[r]-u[l-1])*(n/l)%mod*(m/l)%mod ;
        ans=(ans+re)%mod;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}

int main(){
    init();
    LL n,m;
    while(cin>>n>>m){
        LL NN=min(n,m);
        LL ans=0;
        for(LL l=1,r;l<=NN;l=r+1){      //N/d 分块
            r=NN/(NN/l);
            LL d=(l+r)*(r-l+1)/2%mod;
            LL re=solve(n/l,m/l);
            re=(re+mod)%mod;
            ans=(ans+d*re%mod)%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}