回溯法轻松高效率解决n皇后问题(java实现)

问题描述：
如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。（皇后，是国际象棋中的棋子，意味着国王的妻子。皇后只做一件事，那就是“吃子”。当她遇见可以吃的棋子时，就迅速冲上去吃掉棋子。当然，她横、竖、斜都可走步，可进可退）

解决该回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程
算法思路：
第一个皇后理论上可以选择棋盘上任何一个落点，依次尝试第一个皇后的可能落点，对于第一个皇后每一个可能的落点寻找第二个合法的落点,再对于第二个皇后每一个可能的落点寻找第三个合法的落点…以此类推，当n个皇后全部落定后，记录此时的结果再进行下一次循环…

例如以4皇后为例的决策树如下：

当然，上述回溯法是通用的，其复杂度是指数级的，显然不太合理，需要剪枝进行优化。
接下来，可以针对该问题继续研究，将棋盘化作一个二维数组，数组中0代表空位，1代表皇后，分析问题可以发现：
1.最后成立的结果中一定是每行有且仅有一个皇后
2.放置第x(x

没有剪枝时，程序运行8皇后耗时达到1200ms，通过以上结论剪枝后耗时<5ms，整整240倍的时间差！

public class Solution {
	//存储结果
    public static List<List<String>> list = new ArrayList<>();

    public static void main(String args[]) {
        solveNQueens(8);
    }
    public static List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        long t1 = System.currentTimeMillis();
        int a[][] = new int[n][n];
        solve(a, n, 0);
        long t2 = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("耗时 " + (t2 - t1) + " ms");
        return list;
    }
    public static void solve(int a[][], int n, int num) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (a[num][j] == 0&&ifDown(a,num,j,n)) {//判断是否可以落点
                a[num][j] = 1;//落子
                if (num >= n - 1) {//判断是否是符合要求的结果
                    addList(a);//记录符合要求的结果
                    a[num][j] = 0;//恢复棋盘
                    return;
                } else solve(a, n, num + 1);//递归，落下一个皇后
                a[num][j] = 0;//恢复棋盘
            }
        }
    }
    public static void addList(int a[][]) {
        List<String> li = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            StringBuilder str = new StringBuilder();
            for (int j = 0; j < a.length; j++) {
                if (a[i][j] == 0) str.append('.');
                else if (a[i][j] == 1) str.append('Q');
            }
            li.add(str.toString());
        }
        list.add(li);
    }
	//判断某点是否可以落子
    public static boolean ifDown(int a[][], int x,int y, int n) {
        //上
        for (int i = x; i >= 0; i--) {
            if (a[i][y] != 0) return false;
        }
        //左上
        for (int i = x, j = y; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (a[i][j] != 0) return false;
        }
		//右上
        for (int i = x, j = y; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
            if (a[i][j] != 0) return false;
        }
        return true;
    }
}

回溯算法原理简单明了，就是一种暴力穷举，其本身的复杂度是很高的，必须通过剪枝来优化该算法，否则效率会大打折扣。