取模和取余

近日在读C++ Primer第五版，在2.1.2类型转换一节中，有这样一个例子：

unsigned char c = -1; //假设char占8比特，c的值位255

当看到255这个值，一脸蒙圈，为什么是这个值呢？
书上的解释是：当我们赋给无符号类型一个超出它表示范围的值时，结果是初始值对无符号类型表示数值总数取模后的余数。例如，8比特大小的unsigned char可以表示0至255区间内的值，如果我们赋了一个区间以外的值，则实际的结果是该值对256取模后所得的余数。因此，把-1赋给8比特大小的unsigned char所得的结果是255。

取模和取余

书中提到取模运算，这里来说一下取模和取余运算：
假设有整数a和b，那么取模/取余运算可以分为两步运算：

1. 求整数商：c = a/b;
2. 计算模/余数：r = a - (c*b);

取模和取余运算的差别在于第一步中c的取值：

• 取余运算在计算商值时向0的方向舍弃小数位
• 取模运算在计算商值时向负无穷方向舍弃小数位

例如：4/(-3)约等于-1.3，那么在取余运算中，c取-1（商值向0的方向舍弃小数位），所欲余数r=1；在取模运算中，c取-2（商值向负无穷方向舍弃小数位），所以模数r=-2；

根据上述的说明，我们似乎已经弄清了取模的概念，让我们回到书中的例子，令a=-1，b=256，此时计算可得c=0；根据上述概念我们c应该取何值呢，在我百思不得其解之时，博客园中一篇博客给了我答案。

负数取模

取余/取模运算在除数和被除数同号时，结果是相等的，在两者异号时会有差别；当异号时，我们该如何进行取模运算呢？
在数学中取模运算是这样定义的：

x mod y = x - y[x/y] //[]表示取下界

以-3 mod 2为例：

  -3 mod 2
= -3 - 2 * [-3/2]
= -3 - 2 * [-1.5]
= -3 - 2 * (-2)
= -3 + 4
= 1

通过上述概念，我们便可以解决书上的例子

  -1 mod 256
= -1 - 256 * [-1/256]
= -1 - 256 * [0]
= -1 - 256 * (-1)
= 255

可以愉快的接着啃书了！

本文参考：

1. CSDN-panyyer：取模和取余的区别
2. 博客园-张子秋：原码, 反码, 补码 详解
3. 知乎回答-竹月凉：编程语言中，取余和取模的区别到底是什么？