50. Pow(x, n)
实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。
示例 1:
输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000
示例 2:
输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100
示例 3:
输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
说明:
-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。
题目难度: Midium
思路1: 二分 + 递归
首先看到题目，最直观的想法就是一次遍历，每次都乘上x。时间复杂度为$O(n)$, 空间复杂度为$O(1)$.
$f(n)=f(n-1)*x$
通常而言，最暴力的方法不会是效率最高的方法， 这题也不例外。比如
$$\begin{align}2^4=2^2*2^2 \\ 2^5=2^3*2^2\end{align}$$
我们其实并不需要计算$2^1$一直到$2^n$. 因此可以得到一个更高效的计算公式
$$x^n=\begin{cases} x^{\frac{n+1}{2}}*x^{\frac{n-1}{2}}, if(n\%2!=0)\\ x^{\frac{n}{2}}*x^{\frac{n}{2}}, if(n\%2==0)\end{cases}$$
def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
if n == 0:
return 1
flag = 1 if n > 0 else -1
n = abs(n)
def helper(x, n):
if n == 0:
return 1
# 如果是奇数
if n % 2:
res = helper(x, (n-1) // 2)
return res * res * x
# 如果是偶数
res = helper(x, n // 2)
return res * res
return helper(x, n) if flag > 0 else 1. / helper(x, n)
时间复杂度: $O(log(n))$, 空间复杂度：$O(log(n))$.
思路2
二分 + 迭代
def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
if n == 0:
return 1
flag = 1 if n > 0 else -1
n = abs(n)
res = 1.
ans = x
while n > 0:
if n % 2:
res *= ans
ans *= ans
n //= 2
return res if flag > 0 else 1. / res
时间复杂度为$O(log(n))$, 空间复杂度为$O(1)$
相比于第二种思路， 个人觉得第一种思路更容易理解， 但需要额外的空间复杂度。 方法二， 想了很久还是不能完全理解。
53. 最大子序和
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。
这道题是一个比较典型的动态规划问题， 既然是动态规划问题， 那就需要明确选择和状态
状态： $f(n)$表示以nums[n-1]结束的最大子序列和.
选择： 是否选择元素作为最大和的连续子数组的元素。
状态转移方程：
$$ f(n) =\begin{cases} f(n-1) + nums[n-1], &if (f(n-1) + nums[n-1]>nums[n-1])\\ nums[n-1],&else\end{cases} $$
通俗一点来理解就是，如果当前的元素不能使最大子序和变大，则将已有的子序列舍弃。
基于状态转移方程， 可以写出如下代码
def maxSubArray(nums):
if not nums:
return
n = len(nums)
b = nums[0]
res = b
for i in range(1, n):
b = max(b+nums[i], nums[i])
res = max(res, b)
return res思路2
分治法
最大子序和可以有3种情况
- 最大子序和出现在数组的左半部分
- 最子子序和出现在数组的右半部分
- 最大子序和跨越数组的左半部分和右半部分
最后的最大值为左半部分的最大值， 右半部分的最大值， 跨越左半部分和右半部分的最大值之间的最大值
def maxSubArray(nums):
if not nums:
return
n = len(nums)
if n == 1:
return nums[0]
# 左半部分的最大值
max_left = maxSubArray(nums[:n//2])
# 右半部分的最大值
max_right = maxSubArray(nums[n//2:])
# 计算中间的最大子序和
# 从右到左计算左边的最大子序和
max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
tmp += nums[i]
max_l = max(tmp, max_l)
# 从左到右计算右边的最大子序和
max_r = nums[len(nums) // 2]
tmp = 0
for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
tmp += nums[i]
max_r = max(tmp, max_r)
#返回三个中的最大值
return max(max_right,max_left,max_l+max_r)时间复杂度为$nlog(n)$, 空间复杂度为$O(log(n))$
169. 多数元素
给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。
你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。
示例 1:
输入: [3,2,3]
输出: 3示例 2:
输入: [2,2,1,1,1,2,2]
输出: 2最简单， 最直接的想法就是排序， 去最中间的数即可， 对应的复杂度就是排序的复杂度。时间复杂度为$O(nlog(n))$, 空间复杂度为$log(n)$
思路1
分治
根据题目对众数的定义， 如果将数组划分为左右两部分，那么数组的众数必然是其中一个部分的众数。
def majorityElement(nums):
if not nums:
return
def helper(low, high):
if low == high:
return nums[low]
mid = (low + high) // 2
left = helper(low, mid)
right = helper(mid, high)
if left == right:
return left
# 统计左半部分的众数出现次数
cnt_left = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == left])
# 统计右半部分的众数出现次数
cnt_right = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == right])
#
return left if cnt_left > cnt_right else riht
return helper(0, len(nums)-1)
时间复杂度为$O(nlog(n))$, 空间复杂度为$O(log(n))$
思路2
投票
维护一个众数得分， 只有当当前众数的得分等于0时， 修改众数
def majorityElement(nums):
if not nums:
return
score = 1
candidate = nums[0]
for n in nums[1:]:
if score == 0:
candidate = n
if n == candidate:
score += 1
else:
score -= 1
return candidate
时间复杂度为$O(n)$, 空间复杂度为$O(1)$