经典算法之回溯法

一、概述

        回溯法思路 的简单描述：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。

（1）如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；

（2）如果可行，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        剪枝函数的作用是避免无效的搜索。包括两类：

• 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；
• 使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二、算法实现

       回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

//针对N叉树的递归回溯方法  
void backtrack (int t)  
{  
    if (t > n) 
    {
        output(x);   //叶子节点，输出结果，x是可行解
    }  
    else  
    {
        for i = 1 to k   //当前节点的所有子节点  
        {  
            x[t]=value(i);   //每个子节点的值赋值给x  
            if (constraint(t) && bound(t))   //满足约束条件和限界条件  
            {
                backtrack(t+1);  //递归下一层  
            }
        }  
    }       
}  

2. 迭代

        算法设计相对复杂，但效率高。

//针对N叉树的迭代回溯方法  
void iterativeBacktrack ()  
{  
    int t = 1;  
    while (t > 0) {  
        if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点  
        {  
            for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点  
            {  
                x[t] = value(i);  //每个子节点的值赋值给x  
                if (constraint(t) && bound(t))  //满足约束条件和限界条件   
                {  
                    //solution表示在节点t处得到了一个解  
                    if (solution(t)) output(x);  //得到问题的一个可行解，输出  
                    else t++;  //没有得到解，继续向下搜索  
                }  
            }  
        }  
        else  //不存在子节点，返回上一层  
        {  
            t--;  
        }  
    }  
}  

三、子集树和排列树

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。

       如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

void backtrack (int t)  
{  
    if (t>n) output(x);  
    else  
      for (int i=0; i<=1; i++) {  
        x[t]=i;  
        if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);  
      }  
}  

2. 排列树

       所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。

       如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。

       回溯法搜索排列树的算法范式如下：

void backtrack (int t)  
{  
    if (t>n) output(x);  
    else  
      for (int i=t; i<=n; i++) {  
        swap(x[t], x[i]);  
        if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);  
        swap(x[t], x[i]);  
      }  
}   
  

四、经典问题

0-1背包问题

        问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
        分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

#include   
   
#define N 3         //物品的数量  
#define C 16        //背包的容量  
   
int w[N] = {10,8,5};  //每个物品的重量  
int v[N] = {5,4,1};   //每个物品的价值  
int x[N] = {0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入  
   
int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量  
int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值  
   
int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0  
int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入  
   
//t = 0 to N-1  
void backtrack(int t)  
{  
    //叶子节点，输出结果  
    if(t > N-1)   
    {  
        //如果找到了一个更优的解  
        if(CurValue > BestValue)  
        {  
            //保存更优的值和解  
            BestValue = CurValue;  
            for(int i=0; i

其他回溯法经典问题还包括：
（1）八皇后问题
（2）旅行售货员问题
（3）图的m着色问题

 

参考：https://blog.csdn.net/weiyuefei/article/details/79316653