一、问题描述
问题描述:N个人分配N项任务,一个人只能分配一项任务,一项任务只能分配给一个人,将一项任务分配给一个人是需要支付报酬,如何分配任务,保证支付的报酬总数最小。
问题数学描述:
注意,这个规划问题是整数线性规划(ILP)问题,也就是说,两个约束方程,保证每个任务被分配一次。决策变量仅允许取离散值0/1
二、实例分析---穷举法
在讲将匈牙利算法解决任务问题之前,先分析几个具体实例。
以3个工作人员和3项任务为实例,下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。
利用最简单的方法(穷举法)进行求解,计算出所有分配情况的总薪酬开销,然后求最小值。
total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;
total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;
total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;
total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配
total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;
total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;
对于任务数和人员数较少时,可利用穷举法计算结果。
若将N任务分配给N个人员,其包含的所有分配情况数目为N!,N增大时,穷举法将难以完成任务。
三、匈牙利算法
下面简要介绍匈牙利算法。
其基本的理论基础是针对cost矩阵,将cost矩阵的一行或一列数据加上或减去一个数,其最优任务分配求解问题不变。
算法的基本步骤如下:
四、实例分析---匈牙利算法
下面结合具体实例,分析匈牙利算法如何解决任务分配问题。
以N = 4为实例,下图为cost列表和cost矩阵。
Step1.从第1行减去75,第2行减去35,第3行减去90,第4行减去45。
Step2.从第1列减去0,第2列减去0,第3列减去0,第4列减去5。
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是3,少于4,进入Step5。
Step5.没有被覆盖的最小值是5,没有被覆盖的每行减去最小值5,被覆盖的每列加上最小值5,然后跳转到步骤3.
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是3,少于4,进入Step5。
Step5.没有被覆盖的最小值是20,没有被覆盖的每行减去最小值20,被覆盖的每列加上最小值20,然后跳转到步骤3.
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是4,算法结束,分配结果如下图所示。
其中,黄色框表示分配结果,左边矩阵的最优分配等价于左边矩阵的最优分配。
注意:若分配问题中需要配对两个集合大小不同,则小的一个可以利用伪成员进行扩张,这些伪成员可以分配给另外一个集合里的所有成员,且相应的费用为零。
我们在上面一般分配问题的约束下,最小化或者最大化如下形式的二次目标函数:
其中是将i分配给j且k分配给l的收益或者成本
注意到,目标函数的每一项包含两个分配决策:,也就是只有
才会有
的成本。
这种模型的应用,主要是在购物商场的店铺装修布局。
注意:计算二次分配模型的全局最优点是很困难的,这是因为目标函数变成了非线性,此时不再是整数规划问题了,解这类问题通常采用启发式算法。
我们之前的分配问题约束是每个i必须被分配到一个j中,反之亦然。现在假设每一个i必须被分配给一些事物j,每一个事物j可以与多个i配对。具体来说,定义如下变量:
bj 表示j的容量
si,j表示如果i被分配j,那么j需要消耗的容量、空间、或者类似的量
ci,j表示i分配给j的成本或者收益
此时,用来找到在不超过容量限制的情况下最佳分配所有事物i的方案的模型,就是广义分配模型,形式如下:
广义分配模型,还是属于整数规划问题,在规模适中时可以用整数规划求解方式求解。
最后一种分配模型是消除集合之间的区别,即寻找同一类事物之间的最佳配对,此时,我们把一般分配模型中的j换成i',同时,约束条件变为:
一般来说,令i‘ > i的目的在于消去重复计数。
其应用如扬声器匹配模型,同一批扬声器由于生产工艺的差别,搭配成一个立体声系统时,两个扬声器之间存在干扰失真,建模的意义在于,如何搭配两个扬声器,使得整体的干扰失真最小。
下面补充一点二分图匹配问题,仔细体会,跟上面分配问题还是不太一样,上面定义为整数线性规划问题,下面采用图的方式,差别在于,上面分配问题已经考虑了分配成本或者收益,下面图分两种,一种带权(就是上面分配问题),一种不带权。
以下参考:https://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html
二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V,使得每一条边都分别连接U,V的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。
最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。
完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完备匹配。如果两个集合的顶点数相同,且是完备匹配则成为一个完美匹配,图 4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完美匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如,图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出):
增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。因此,研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时,达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前,先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造(类似于 BFS 树)。从一个未匹配点出发运行 BFS(唯一的限制是,必须走交替路),直到不能再扩展为止。例如,由图 7,可以得到如图 8 的一棵 BFS 树:
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号),但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点,因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点,那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示(顺便说一句,图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路,沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。
下面给出匈牙利算法的 DFS 和 BFS 版本的代码:
// 顶点、边的编号均从 0 开始
// 邻接表储存
struct Edge
{
int from;
int to;
int weight;
Edge(int f, int t, int w):from(f), to(t), weight(w) {}
};
vector G[__maxNodes]; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */
vector edges;
typedef vector::iterator iterator_t;
int num_nodes;
int num_left;
int num_right;
int num_edges;
int matching[__maxNodes]; /* 存储求解结果 */
int check[__maxNodes];
bool dfs(int u)
{
for (iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i) { // 对 u 的每个邻接点
int v = edges[*i].to;
if (!check[v]) { // 要求不在交替路中
check[v] = true; // 放入交替路
if (matching[v] == -1 || dfs(matching[v])) {
// 如果是未盖点,说明交替路为增广路,则交换路径,并返回成功
matching[v] = u;
matching[u] = v;
return true;
}
}
}
return false; // 不存在增广路,返回失败
}
int hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
for (int u=0; u < num_left; ++u) {
if (matching[u] == -1) {
memset(check, 0, sizeof(check));
if (dfs(u))
++ans;
}
}
return ans;
}
queue Q;
int prev[__maxNodes];
int Hungarian()
{
int ans = 0;
memset(matching, -1, sizeof(matching));
memset(check, -1, sizeof(check));
for (int i=0; i= 0) { // 此点为匹配点
prev[matching[v]] = u;
} else { // 找到未匹配点,交替路变为增广路
flag = true;
int d=u, e=v;
while (d != -1) {
int t = matching[d];
matching[d] = e;
matching[e] = d;
d = prev[d];
e = t;
}
}
}
}
Q.pop();
}
if (matching[i] != -1) ++ans;
}
}
return ans;
}
匈牙利算法的要点如下
从左边第 1 个顶点开始,挑选未匹配点进行搜索,寻找增广路。
由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配,所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈,而 BFS 版本使用 prev
数组。
性能比较
两个版本的时间复杂度均为O(V⋅E)O(V⋅E)。DFS 的优点是思路清晰、代码量少,但是性能不如 BFS。测试了两种算法的性能。对于稀疏图,BFS 版本明显快于 DFS 版本;而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%,9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。
补充定义和定理:
最大匹配数:最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数:选取最少的点,使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数:选取最多的点,使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数:对于一个 DAG(有向无环图),选取最少条路径,使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0(即单个点)。
定理1:最大匹配数 = 最小点覆盖数(这是 Konig 定理)
定理2:最大匹配数 = 最大独立数
定理3:最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
在一个二分图内,左顶点为X,右顶点为Y,现对于每组左右连接XiYj有权wij,求一种匹配使得所有wij的和最大。也就是最大权匹配一定是完备匹配。如果两边的点数相等则是完美匹配。如果点数不相等,其实可以虚拟一些点,使得点数相等,也成为了完美匹配。最大权匹配还可以用最大流去解决。从这里可以看出,本文开头提到的一般分配问题,就是带权二分图的完美匹配问题。
Kuhn-Munkras算法流程:
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
详细的KM算法这里不提了,本文的主要目的在于区分清楚这几个模型概念,且找到每个问题的最佳求解方式。
KM算法是求最大权完备匹配,如果要求最小权完备匹配怎么办?方法很简单,只需将所有的边权值取其相反数,求最大权完备匹配,匹配的值再取相反数即可。
KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配,如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办?依然很简单,把不存在的边权值赋为0。
KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大,如果我想要边权之积最大,又怎样转化?还是不难办到,每条边权取自然对数,然后求最大和权匹配,求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。
求最小(大)权匹配的费用流建模方法
求最小(大)权匹配,可以用最小(大)费用最大流的方法。和二分图最大匹配的构图方法类似,添加附加源S和附加汇T,从S向二分图X集合中每个顶点连接一条权值为0,容量为1的有向边,从Y集合中每个顶点向T也连接一条权值为0,容量为1的有向边。然后把原有的边变成容量为1,权值不变的有向边。求从S到T的最小(大)费用最大流,就能求得最小(大)权匹配。
上述建模求最大权匹配的方法求得的一定是最佳匹配(如果存在完备匹配),因为S到X集合每条边全部满流。如下图所示,最小费用最大流为2。
要求最大权匹配(不一定完备匹配)。如下图,只需再引入一个顶点A,从X集合的每个顶点向A连接一条容量为1,权值为0的边,然后再由A向T连接一条权值为0,容量不小于|X|的边,求最大费用最大流,这时是100。
最小权匹配也类似,不过新加的边权要为一个极大值,大于所有已有边权值。
KM算法与费用流的比较
从理论上分析,KM算法的时间复杂度比费用流要好,但是实际上和较好的费用流算法比起来运行效率是差不多的,KM算法优势仅仅在于编程容易。对于十分稀疏的图,许多优秀的费用流算法效率是很高的。这并不说明KM算法不如费用流,毕竟在信息学竞赛中,编程的复杂度也是一个相当重要的需要考虑的因素。