关于完全平方数的因子个数是奇数个的说明

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结论：一个数是完全平方数，那么它有奇数个因子。

证明：对于一个完全平方数来说，首先它是一个整数，那么就存在唯一的质因数分解：

A=(p1)^a1×(p2)^a2×…×(pn)^an, 其中p1,p2,…,pn 是互不相等的质数；

又由于它是完全平方数，所以a1,a2,…,an都是偶数；

从而：a1+1,a2+1,…,an+1都是奇数；

于是平方数A的正约数（即因数）个数(a1+1)(a2+1)……(an+1)是奇数。

 

以上证明如果看不懂，可以这样理解：

一个完全平方数 M 必然可以表示为 M= N*N

而每个N都可以递归的表示为另外两个数的乘积 ，递归到最后，两个因子都会成为互不相等的质数，

即 N = X*Y 其中 XM^n= (N*N)^n

M^n= X1*X2*X3*......*N*N*...Y3*Y2*Y1  其中只有 N具有一个 N^2，其他都是成对出现。所以是奇数个因子。

 

#include  // 输出100以内有奇数个因子的数
using namespace std;
int main()
{
    int i,j,num;
    for(i=1; i<=100; i++)
    {
        num=0;
        for(j=1; j<=i; j++)
        {
            if(i%j==0)
                num++;
        }
        if(num%2==1)
            cout<

 

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