关于n个小球放m个盒子的DP问题

i球j盒；球同，盒同，可以空
res[i][j]代表球同，盒同，可以空的放法：

i > j 时，多出来的盒子必然空着，拆分情况情况的数量和i == n没区别。
i <= j 时，两种情况：
1)至少有一个空盒子，则相当于少一个盒子的情况 res(i, j) = res(i, j - 1), 没区别
2)没有空盘子，分配完之后相当于每个盒子里都减少一个球的情况 res(i, j) = res(i -j, j )
加起来 res(i,j) = res(i,j-1) + res(i-j,j)

很多文章只是说道上面一点，但是为什么在第二种情况下，res(i,j) = res(i,j-1) + res(i-j,j)却没有说，只是说明每个盒子都放一个球，或者一个盒子不放球，但是并没有解释这是怎么来的。

为什么要每个盒子都放一个球，而不是随便把一个球放在任意一个盒子？
做DP关键是在于转换问题，所以选择转换步骤就十分重要，因为盒子没有差异性，我们必须保证转换后的结果和转换前并不相同，且不重合。

如果原有4个盒子，球数是 5 2 2 1；如果随机在盒子放一个球，那么5 3 2 1和5 2 3 1其实是一种结果，这种转换结果会存在耦合，那么我们选择在每一个盒子放球：5 2 2 1 —> 6 3 3 2；这样就不会存在结果耦合。

同时，还有一种情况，是另辟一个新的盒子，因为基本的盒子数已发生改变，所以也不会存在结果耦合；

那么，最后的问题是，这两项能不能完全cover所有情况，答案是可以的，因为这种拓展的步长取决于j，而j是从1开始循环，所以完全可以cover所有情况；

插一段例题：
给定一个正整数，我们可以定义出下面的公式:
N=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
对于一个正整数，求解满足上面公式的所有算式组合，如，对于整数 4 :

4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
所以上面的结果是 5 。
注意：对于 “4 = 3 + 1” 和 “4 = 1 + 3” ，这两处算式实际上是同一个组合!

#include 
#include 
using namespace std;

int main()
{  
   vector<vector<int>>res(121, vector<int>(121, 1));
    for (int i = 1; i <= 120; i++) {
        for (int j = 1; j <= 120; j++){
            if (i == 1 || j == 1)  res[i][j] = 1;
            else if (i < j)  res[i][j] = res[i][i];
            else res[i][j] = res[i][j - 1] + res[i - j][j]; 
        }
    }
    
    int n;
    while (cin >> n) cout << res[n][n] << endl; 
    return 0;
}