考研高等数学中值定理总结（二）

(7)拉格朗日中值定理
设f(x)满足$$\{\begin{array}{c}[a,b]上连续\\ (a,b)内可导\end{array}$$,$$则存在\xi \in (a,b),使f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
注：若f(a)=f(b),则f ’ (ξ)=0,成为罗尔定理。
(8)柯西中值定理：
设f(x)，g(x)满足$$\{\begin{array}{c}[a,b]上连续\\ (a,b)内可导\\ g^{\prime }(x)̸=0\end{array}$$,$$则存在\xi \in (a,b),使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$
注：$$[1]若g(x)为函数g(x)=x⟹\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},成为拉格朗日中值定理.$$
[2] 所以，在柯西中值定理中，若g(x)为函数g(x)=x，成为拉格朗日中值定理，在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b),成为罗尔定理。即：
柯西中值定理 (g(x)=x) ⟹ 拉格朗日中值定理 (f(a)=f(b)) ⟹罗尔定理
[3]还需要注意的是，拉格朗日中值定理能够反推出柯西中值定理吗？答案是不能。
这是一个很容易犯的错误。因为很容易想到由拉格朗日中值定理$$存在\xi \in (a,b),使f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}，g^{\prime }(\xi )=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}，$$那么，$$只要\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}，就能约掉(b-a),得到\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$
表明上看起来似乎没有什么错误，但忽略了一个至关重要的问题：
$$存在\xi \in (a,b),使f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}，存在\xi \in (a,b),使f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$，这两个ξ并不是同一个ξ(在大多数情况下不等），理解了这一点，也会对(7)拉格朗日中值定理有深一层的理解。