考研高等数学中值定理总结（二）
(7)拉格朗日中值定理
设f(x)满足 { [ a , b ] 上 连 续 ( a , b ) 内 可 导 \left\{ \begin{array}{c} [a,b]上连续 \\ (a,b)内可导 \\ \end{array} \right. {[a,b]上连续(a,b)内可导, 则 存 在 ξ ∈ ( a , b ) , 使 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a . 则存在ξ∈(a,b),使f ' (ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \quad. 则存在ξ∈(a,b),使f′(ξ)=b−af(b)−f(a).
注：若f(a)=f(b),则f ’ (ξ)=0,成为罗尔定理。
(8)柯西中值定理：
设f(x)，g(x)满足 { [ a , b ] 上 连 续 ( a , b ) 内 可 导 g ′ ( x ) ≠ 0 \left\{ \begin{array}{c} [a,b]上连续 \\ (a,b)内可导 \\ g ' (x)≠0 \end{array} \right. ⎩⎨⎧[a,b]上连续(a,b)内可导g′(x)̸=0, 则 存 在 ξ ∈ ( a , b ) , 使 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) . 则存在ξ∈(a,b),使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f ' (ξ)}{g ' (ξ)} \quad. 则存在ξ∈(a,b),使g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ).
注： [ 1 ] 若 g ( x ) 为 函 数 g ( x ) = x ⟹ f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ( b ) − f ( a ) b − a , 成 为 拉 格 朗 日 中 值 定 理 . [1] 若g(x)为函数g(x)=x ⟹ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ,成为拉格朗日中值定理\quad. [1]若g(x)为函数g(x)=x⟹g(b)−g(a)f(b)−f(a)=b−af(b)−f(a),成为拉格朗日中值定理.
[2] 所以，在柯西中值定理中，若g(x)为函数g(x)=x，成为拉格朗日中值定理，在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b),成为罗尔定理。即：
柯西中值定理 (g(x)=x) ⟹ 拉格朗日中值定理 (f(a)=f(b)) ⟹罗尔定理
[3]还需要注意的是，拉格朗日中值定理能够反推出柯西中值定理吗？答案是不能。
这是一个很容易犯的错误。因为很容易想到由拉格朗日中值定理 存 在 ξ ∈ ( a , b ) , 使 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ， g ′ ( ξ ) = g ( b ) − g ( a ) b − a ， 存在ξ∈(a,b),使f ' (ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ，g ' (ξ)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}， 存在ξ∈(a,b),使f′(ξ)=b−af(b)−f(a)，g′(ξ)=b−ag(b)−g(a)，那么， 只 要 f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) ， 就 能 约 掉 ( b − a ) , 得 到 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) . 只要\frac{f ' (ξ)}{g ' (ξ)} ，就能约掉(b-a),得到\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. 只要g′(ξ)f′(ξ)，就能约掉(b−a),得到g(b)−g(a)f(b)−f(a).
表明上看起来似乎没有什么错误，但忽略了一个至关重要的问题：
存 在 ξ ∈ ( a , b ) , 使 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ， 存 在 ξ ∈ ( a , b ) , 使 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a 存在ξ∈(a,b),使f ' (ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ，存在ξ∈(a,b),使f ' (ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} 存在ξ∈(a,b),使f′(ξ)=b−af(b)−f(a)，存在ξ∈(a,b),使f′(ξ)=b−af(b)−f(a)，这两个ξ并不是同一个ξ(在大多数情况下不等），理解了这一点，也会对(7)拉格朗日中值定理有深一层的理解。