剑指offer刷题————圆圈中最后剩下的数字

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问题重述：

思路解析_1:

代码实现_1:

思路解析_2:

代码实现_2:

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问题重述：

题目：0，1，……，n-1这n个数字排成一个圆圈。从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

思路解析_1:

用一个链表来存储元素，当遍历到链表尾部的时候，让迭代器再次指向头部，由此形成一个环。我们就在链表中去遍历，每次遇到第m个数字，删除即可，直至链表中剩下最后一个元素。

代码实现_1:

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<=0)
            return -1;
        //用链表来模拟环
        list arr;
        for(int i = 0;i::iterator current = arr.begin();
        while(arr.size()>1)
        {
            for(int i = 1;i::iterator next = ++current;
            if(next==arr.end())
                next=arr.begin();
            --current;
            arr.erase(current);
            current = next;
        }
        return *current;
    }
};

思路解析_2:

可以发现，解析1中的思路需要对存储数据的链表进行多次遍历，时间效率是非常低的。

接下来讲解另一种思路，说实话，挺复杂的，但是代码简单，运行效率高。我尽量以直白的语言描述。

首先，在这n个数字中，第一个被删除的数字应该是(m-1)%n,记为k。那么剩下的数字为0~k-1和k+1~n-1。那么下一次的遍历顺序应该是：k+1,k+2,……,,n-1,0,1,……k-2,k-1。

我们不妨定义一个函数f(n,m)来表示n个数字中最后一个删除的数，那么在f(n,m)中，删除第一个数之后，剩下的数的排序要从当前删除数字的后面开始进行计数。因此我们可以再定义一个函数,记为g(n-1,m),由于函数g和函数f都是求最后一个删除的数字，因此必定有f(n,m) = g(n-1,m)。

接下来将f(n,m)删除第一个数之后剩下的数据重新进行定位：

k+1:0

k+2:1

……

n-1:n-k-2

0:n-k-1

1:n-k

……

k-1:n-2

我们定义这种映射为p,则有p(x)=(x-k-1)%n,x为当前数字，p(x)为x在删除k后的重新排序的位置。那么p的逆映射为c(x) = (x+k+1)%k。那么x表示排序后的位置,c(x)表示x位置处的数字。

现在我们将这种映射带入前面的表达式，前面我们提到了f和g两个函数，这两个函数本质上的区别就是数字的下标值变了，那么具体是怎么变的呢，就是上面提到的映射。

那么在g(n-1,m)=c[f(n-1,m)]=(f(n-1,m)+k+1)%n。那么有下面递归公式：

其中n=1,表示只有一个数，那么最后一个删除的数肯定是0。接下来向上回溯，即可得到f(n,m)。

因此可以写出如下简单代码：

代码实现_2:

int LastRemaining(int n,int m)
{
    if(n<1||m<1)
        return -1;
    int last = 0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        last = (last+m)%i;
    return last;
}