#4850. 查拉图斯特拉如是说

题目描述

给出 $n$ 以及一个 $m$ 次多项式 $f(x)$，需要求出

$$\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)f(i)$$

对 $998244353$ 取模的结果。

数据范围

$1\le m\le 100000,m\le n\le 10^9$

题解

orzsz！

考虑组合意义，即有 $n$ 个小球，选出 $i$ 个小球的价值为 $f(i)$ 。我们可以记 $x^j$ 的系数的总和，最后再乘上 $a_j$ 即可。

于是考虑 $\text{dp}$ ： $f[i][j]$ 表示前i个小球， $x^j$ 的系数总和。考虑转移：若 $i$ 不选，则 $f[i][j]=f[i-1][j]$ ；若 $i$ 选，则考虑到 $(x+1{)}^j={\sum }_{k=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k})x^k$ ，所以 $f[i][j]={\sum }_{k=0}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k}\right)f[i-1][k]$ 。

发现可以 $\text{exp}$ ，故效率为 $O(n\log n)$ 。

注意到取对数的多项式中常数项不是 $1$ ，但是特判一下即可。