NFA和DFA等价性证明

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每个NFA都有一个等价的DFA

证明思路（NFA转DFA的方法）

我们要证明NFA和DFA等价，因为DFA是NFA的一般化，所以NFA一定可以模拟DFA，因此我们需要做的是用DFA模拟NFA。因为NFA在当前状态读到一个字符后可以有多条路可以走,所以模拟该NFA的DFA将有 2k 2 k 个状态，每个状态都是NFA状态集的幂集的一个元素。具体操作在证明过程中。

证明

假设我们有一台NFA N=(Q,∑,δ,q0,F) N = ( Q , ∑ , δ , q 0 , F ) 识别语言 A A ,现在我们要构造一台DFA M=(Q\',∑,δ\',q\'0,F\') M = ( Q \' , ∑ , δ \' , q 0 \' , F \' ) 识别语言 A A 。在完整构造 M M 之前，我们先假设 N N 没有 ϵ−move ϵ − m o v e 。之后再考虑 epsilon−move e p s i l o n − m o v e 的情况。

1. Q\'=P(Q) Q \' = P ( Q ) ,这个条件是理解这个构造的关键，如果理解了1和下面的3，那基本整个构造就理解了。如果不能理解，那可以先放下，先看后面具体的例子。
2. 注意 M M 和 N N 中的字符表是一样的。
3. δ′(R,a)={ q∈Q∣ q∈δ(r,a), r∈R } δ ′ ( R , a ) = {   q ∈ Q ∣   q ∈ δ ( r , a ) ,   r ∈ R   } ,其中 R∈Q\' R ∈ Q \' 。我们知道， R R 是 M M 的一个状态，它也是 N N 的一些状态的集合。当 M M 在状态 R R 遇到字符 a a 时，那么我们要记录 N N 中处于集合 R R 中的所有元素时， N N 向哪个状态转移。所以上述转移函数也可以写为
   δ′(R,a)=⋃r∈Rδ(r,a) δ ′ ( R , a ) = ⋃ r ∈ R δ ( r , a )
4. q′0=q0 q 0 ′ = q 0 。
5. F′={ R∈Q′∣ R包含N的一个接受状态} F ′ = {   R ∈ Q ′ ∣   R 包 含 N 的 一 个 接 受 状 态 } 。这个条件表示如果 N N 有一条路走到接受状态，那么 M M 就接受该字符串。

现在我们开始考虑 ϵ−move ϵ − m o v e ：
想法依旧是上述想法：模拟（stimulate）。但是为了方面表示，我们需要引入额外的记号。对于 M M 的一个状态 R R ,我们记 E(R) E ( R ) 为 R R 的元素通过 ϵ−move ϵ − m o v e 可以到达的状态和 R R 本身的并集。也就是

E(R)={ q∣q是可以从R出发通过0或0次以上ϵ−move到达的状态 } E ( R ) = {   q ∣ q 是 可 以 从 R 出 发 通 过 0 或 0 次 以 上 ϵ − m o v e 到 达 的 状 态   }

。有了这个定义，我们修改转移函数为：

δ′(R,a)={ q∈Q∣ q∈E(δ(r,a)), r∈R } δ ′ ( R , a ) = {   q ∈ Q ∣   q ∈ E ( δ ( r , a ) ) ,   r ∈ R   }

。另外我们还需要修改开始状态为： q′0=E(q0) q 0 ′ = E ( q 0 ) 。至此， N N 的等价DFA M M 构造成功。撒花~

推论

一个语言是正则的当且仅当有某个NFA可以识别它。

NFA转DFA例子

由图可知， N2 N 2 有3个状态，所以要构造的等价DFA D D 的状态集为 {∅,{ 1 },{ 2 },{ 3 },{ 1,2 },{ 1,3 },{ 2,3 },{ 1,2,3 }} { ∅ , {   1   } , {   2   } , {   3   } , {   1 , 2   } , {   1 , 3   } , {   2 , 3   } , {   1 , 2 , 3   } } 。确定了状态集之后，接下来我们要确定开始状态和接受状态集合。因为 N4 N 4 的开始状态为1，所以 D D 的开始状态为 E({ 1 }) E ( {   1   } ) ,又有一个 ϵ−move ϵ − m o v e 由状态1到状态3，所以 E({ 1 })={ 1,3 } E ( {   1   } ) = {   1 , 3   } 。又 N2 N 2 的接受集合只有一个元素1，所以 N2 N 2 的状态集的幂集中包含1的集合都是 D D 的接受状态，由此， D D 的接受集合为 { { 1 },{ 1,2 },{ 1,3 },{ 1,2,3 } {   {   1   } , {   1 , 2   } , {   1 , 3   } , {   1 , 2 , 3   } 。最后我们确定转移函数（因为字符表是一样的，因此不需要理会），在这里，我们只分析几个状态的转移，其他的是一样的照葫芦画瓢。在 D D 中：
1. 状态 { 2 } {   2   } ： 状态 { 2 } {   2   } 读到字符a向状态 { 2,3 } {   2 , 3   } 转移，这是因为在 N2 N 2 中，状态2读到字符a向状态2或3转移，并且状态2或3都没有箭头从 ϵ ϵ 出发；状态 { 2 } {   2   } 读到字符b向状态 { 3 } {   3   } 转移，这是因为在 N2 N 2 中，状态2读到字符b只能向状态3转移，并且状态3没有箭头从 ϵ ϵ 出发。
2. 状态 { 1 } {   1   } ： 状态 { 1 } {   1   } 读到字符a后向状态 ∅ ∅ 转移，这是因为在 N2 N 2 中，状态1没有箭头读到字符a后向其他状态转移；状态 { 1 } {   1   } 读到字符b后向状态 { 2 } {   2   } 转移，相信到此原因已经不用解释了。
3. 状态 { 3 } {   3   } ： 状态 { 3 } {   3   } 读到字符a后向 { 1,3 } {   1 , 3   } 转移，这是因为在 N2 N 2 中，状态3在读到字符a后向状态1转移，并且在状态1有一个 ϵ ϵ 箭头从状态1指向状态3；状态 { 3 } {   3   } 读到字符b后向 ∅ ∅ 转移。
4. 状态 { 1,2 } {   1 , 2   } : 状态 { 1,2 } {   1 , 2   } 读到字符a后向状态 { 2,3 } {   2 , 3   } 转移，这是因为在 N2 N 2 中，状态1读到字符a后，没有转移的状态，状态2读到a后向状态2或3转移，并且没有额外的 ϵ ϵ 转移；状态 { 1,2 } {   1 , 2   } 读到字符b后向状态 { 2,3 } {   2 , 3   } 转移，此处原因不再过多解释。继续模拟其余4个状态（总共 23=8 2 3 = 8 个状态），将得到以下DFA：

但是上图并不是最简的DFA图，我们可以入度为0的节点（在DFA图中，节点即是状态，入度为0即没有箭头指向该节点）去掉，因为不可能有节点去到那个节点（开始节点入度至少为1），所以这类节点是对DFA没有贡献的。在上图中，状态 { 1 } {   1   } 和状态 { 1,2 } {   1 , 2   } 均属于没有贡献的状态，所以可以去掉它们，得到下图：

下篇文章将用NFA证明正则操作（并，连接，闭包）的封闭性。