曼哈顿距离与切比雪夫距离的转化及prufer序列

目录

1. 曼哈顿距离与切比雪夫距离的相互转化
2. prufer序列

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1. 曼哈顿距离 与 切比雪夫距离 的相互转化

曼哈顿距离

|x1−x2|+|y1−y2|=max(x1−x2+y1−y2,x1−x2−y1+y2,−x1+x2+y1−y2,−x1+x2−y1+y2) | x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | = m a x ( x 1 − x 2 + y 1 − y 2 , x 1 − x 2 − y 1 + y 2 , − x 1 + x 2 + y 1 − y 2 , − x 1 + x 2 − y 1 + y 2 )
与某一个点的曼哈顿距离均为d的所有点构成了一个以该点为中心的对角线长度为2d的菱形。

切比雪夫距离

max(|x1−x2|,|y1−y2|)=max(x1−x2,x1+x2,y1−y2,y1+y2) m a x ( | x 1 − x 2 | , | y 1 − y 2 | ) = m a x ( x 1 − x 2 , x 1 + x 2 , y 1 − y 2 , y 1 + y 2 )
与某一个点的切比雪夫距离均为d的所有点构成了一个以该点为中心的边长为2d的正方形。

两种距离之间的转化

由于两种等距离的形状均为正方形，因此可以通过旋转坐标系来互相转化。

(1)曼哈顿距离->切比雪夫距离

将所有的点做变换 (x,y) ( x , y ) -> (x+y,x−y) ( x + y , x − y ) 。

证明

令 x3=x1+y1,y3=x1−y1,x4=x2+y2,y4=x2−y2 x 3 = x 1 + y 1 , y 3 = x 1 − y 1 , x 4 = x 2 + y 2 , y 4 = x 2 − y 2
|x1−x2|+|y1−y2|=max(x1−x2+y1−y2,x1−x2−y1+y2,−x1+x2+y1−y2,−x1+x2−y1+y2)=max(x3−x4,y3−y4,−y3+y4,−x3+x4)=max(|x3−x4|,|y3−y4|) | x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | = m a x ( x 1 − x 2 + y 1 − y 2 , x 1 − x 2 − y 1 + y 2 , − x 1 + x 2 + y 1 − y 2 , − x 1 + x 2 − y 1 + y 2 ) = m a x ( x 3 − x 4 , y 3 − y 4 , − y 3 + y 4 , − x 3 + x 4 ) = m a x ( | x 3 − x 4 | , | y 3 − y 4 | )

(2)切比雪夫距离->曼哈顿距离

将所有的点做变换 (x,y) ( x , y ) -> (x+y2,x−y2) ( x + y 2 , x − y 2 ) 。

证明

令 x3=x1+y12,y3=x1−y12,x4=x2+y22,y4=x2−y22 x 3 = x 1 + y 1 2 , y 3 = x 1 − y 1 2 , x 4 = x 2 + y 2 2 , y 4 = x 2 − y 2 2
max(|x1−x2|,|y1−y2|)=max(x1−x2,−x1+x2,y1−y2,−y1+y2)=max(x3+y3−x4−y4,−x3−y3+x4+y4,y3−x3+y4−x4,−y3+x3−y4+x4)=|x3−x4|+|y3−y4| m a x ( | x 1 − x 2 | , | y 1 − y 2 | ) = m a x ( x 1 − x 2 , − x 1 + x 2 , y 1 − y 2 , − y 1 + y 2 ) = m a x ( x 3 + y 3 − x 4 − y 4 , − x 3 − y 3 + x 4 + y 4 , y 3 − x 3 + y 4 − x 4 , − y 3 + x 3 − y 4 + x 4 ) = | x 3 − x 4 | + | y 3 − y 4 |

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2.prufer序列

定义

prufer序列是一颗带编号的无根树的编码表示方式，一颗具有 n n 个节点的带编号的无根树有唯一的长为 n−2 n − 2 的prufer序列。

因为每种带编号的无根树对应唯一的prufer序列，所以prufer序列也被用作无根树的计数。

–如下图的无根树的prufer序列为–

3,5,1,3 3 , 5 , 1 , 3

1.如何从一个无根树得到prufer序列？

找树的编号最小的叶子节点，然后将与叶子节点相连的节点编号加入到prufer序列中去，然后删掉这个叶子节点。重复上述过程直到树上只剩2个节点为止，即得到长为 n−2 n − 2 的prufer序列。

显然prufer序列是唯一的。

2.如何从prufer序列恢复一颗无根树？

找到prufer序列中未出现过的，编号最小的点，这个点即为最远一次被删除掉的，把这个点与prufer序列中的第一个点相连，并弹出prufer中的这个点，重复上述操作，prufer序列处理完成后，剩余两个点直接连到一起即可。

3.重要性质

1. prufer序列中每个编号出现的次数+1等于该编号的点在无根树中的度数。

2. n n 个点的无向完全图计数为 n(n−2) n ( n − 2 )

3. n n 个点，每个点的度数为 D1,D2,...,Dn D 1 , D 2 , . . . , D n ，则prufer序列的种数为 (n−2)!(D1−1)!(D2−1)!...(Dn−1)! ( n − 2 ) ! ( D 1 − 1 ) ! ( D 2 − 1 ) ! . . . ( D n − 1 ) !

例题

n n 个点中，其中有 m m 个点的度数是未知的，求生成树的种数？

记 remain r e m a i n 为剩余出现次数
remain=(n−2)−(Di1−1)−(Di2−1)−...−(Din−m−1) r e m a i n = ( n − 2 ) − ( D i 1 − 1 ) − ( D i 2 − 1 ) − . . . − ( D i n − m − 1 )

先把 m m 个点看成是一种点。
这样答案就是 (n−2)!(Di1−1)!(Di2−1)!...(Din−m−1)!remain! ( n − 2 ) ! ( D i 1 − 1 ) ! ( D i 2 − 1 ) ! . . . ( D i n − m − 1 ) ! r e m a i n !
而实际上剩余次数 remain r e m a i n 里面的点可以随意填，形成各种不同的排列，即答案要乘以 mremain m r e m a i n

因此最终的答案就是：
(n−2)!(Di1−1)!(Di2−1)!...(Din−m−1)!remain!mremain ( n − 2 ) ! ( D i 1 − 1 ) ! ( D i 2 − 1 ) ! . . . ( D i n − m − 1 ) ! r e m a i n ! m r e m a i n

其他计数类型

1.有标号有根树的计数

nn−2∗n=nn−1 n n − 2 ∗ n = n n − 1

2.无标号无根树的计数

3.无标号有根树的计数

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