动态规划学习笔记 // /经典问题/状态表示/状态转移方程

• 因为网络原因，图片以及部分经典问题没有上传成功，详见PDF。

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• 首先要做的是——写出状态表示和状态转移方程，有可能会引入k，即对于子问题的界定。——状态值dp[][]要和题目所求内容的要求符合！

• 子问题——很重要，把问题转化为多个阶段的子问题。

• 多阶段决策过程，每一阶段决策都是子问题——一步边长+上一个子问题结果

• 最优子结构性质：全局最优的子状态一定是子问题的最优。

• 一个反例：mod 10——不满足最优子结构性质，所以不能使用动态规划。

• 动态规划算法设计：

  • 目标函数，约束条件

  • 划分子问题，确定边界（k）——将问题转化为多步求解

  • 优化函数值，子问题最优值——判断是否满足优化原则

  • 递推方程，初值，

  • 自底向上，备忘录（ 表格）

  • 考虑是否设立 标记函数

  • 递推方程或备忘录 估计时间复杂度

  • 最短路径

    • https://blog.csdn.net/u010402786/article/details/50856056

    • https://blog.csdn.net/hpulw/article/details/48053583

    • 矩阵链相乘

    • ——总次数最小

    • A(i,j) B(j,k)=C，C是i行k列，所以计算每个元素需要j次乘法，j-1次加法，总计乘法次数为i*j*k

    • 动态规划的递归实现：——效率不高，原因是：同一子问题对此重复计算！！！——怎么改进——空间换时间——结果记录下来

      • 1.划分子问题，

      • 2.子问题依赖关系：假设最优划分在K位置， （界定边界）

      • 3.递推方程：

      • 4.初值：对于最小子问题的最优值

      • 5.最优子结构性质（证明可以使用动态规划）

      • 时间复杂度：数学归纳法

      • 动态规划的迭代实现：——每个子问题只计算一次

      • 从最小的子问题开始计算，

      • 注意计算顺序，

      • 存储结构——备忘录

      • 解的追踪——设计标记函数，标记每一步的决策

      • 动态规划的时间复杂度——备忘录各项计算量之和（+追踪解工作量）

      • 动态规划的经典问题——(关于两个字符串)

        •    最长公共子序列。

        •    交错字符。

        •    字符串编辑距离。（应用：DNA分析，拼写纠错，实体共指，字符串核函数）

        • ——状态dp[i][j]表示s1[0]到s1[i]和s2[0]到s2[j]的一些关系。

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      •  交错字符

        • 描述状态表示和状态转移方程：

          • 状态表示：dp[i][j] 代表是A的前i个字符与C中匹配，B中前j个字符与C中匹配.

          • 状态转移方程：f[i][j] = （f[i-1][j] && A[i-1] == C[i+j-1]） || （f[i][j-1] && B[j-1] == C[i+j-1]）

          • 初始化：f[0][i] = B.prefix(i) == C.prefix(i); f[i][0] = A.prefix(i) == C.prefix(i);

      • 字符串编辑距离

        •     ——插入，删除，替换

        • 譬如，"kitten" 和 "sitting" 这两个单词，由 "kitten" 转换为 "sitting" 需要的最少单字符编辑操作有：

          • 1.kitten → sitten (substitution of "s" for "k")

          • 2.sitten → sittin (substitution of "i" for "e")

          • 3.sittin → sitting (insertion of "g" at the end)

          • 因此，"kitten" 和 "sitting" 这两个单词之间的编辑距离为 3 。

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      • 最大连续子序列乘积

        • 访问到每个点的时候，以该点为子序列的末尾的乘积，要么是该点本身，要么是该点乘以以前一点为末尾的序列，注意乘积负负得正，故需要记录前面的最大最小值。

        • dp1[i]:以第i个数结尾的连续子序列最大乘积

        • dp2[i]:以第i个数结尾的连续子序列最小乘积

        • 转移方程:

          • dp1[i]=max(data[i],dp1[i-1]*data[i],dp2[i-1]*data[i]);

          • dp2[i]=min(data[i],dp1[i-1]*data[i],dp2[i-1]*data[i]);

      • 背包问题

        • 子问题界定：

          • 由参数 k 和 y 界定         

          •  k：考虑对物品1, 2, ... , k 的选择       

          •  y：背包总重量不超过  y    

        • 原始输入：

          • k = n,  y = b

        • 子问题计算顺序：         

          • k = 1, 2, ... , n         

            • 对于给定的 k，y = 1, 2, ... , b    

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      • 硬币找零

      • 假设有几种硬币，如1、3、5，并且数量无限。请找出能够组成某个数目的找零所使用最少的硬币数。
        • 这是一道经典的动态规划方法，我们可以维护一个一维动态数组dp，其中dp[i]表示钱数为i时的最小硬币数的找零，递推式为：dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
        • 其中coins[j]为第j个硬币，而i - coins[j]为钱数i减去其中一个硬币的值，剩余的钱数在dp数组中找到值，然后加1和当前dp数组中的值做比较，取较小的那个更新dp数组。
      • 假设有几种硬币，每个值代表一张钱的面值，再给定一个整数代表要找的钱数，求换钱有多少种方法。
        • 一个硬币一个硬币的增加，每增加一个硬币，都从1遍历到amount，对于遍历到的当前钱数j，组成方法就是不加上当前硬币的频发dp[i-1][j]，还要加上，去掉当前硬币值的钱数的组成方法，当然钱数j要大于当前硬币值，
        • 那么我们的递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + (j >= coins[i - 1] ? dp[i][j - coins[i - 1]] : 0)
        • 0.....i的货币，组成j元钱
        • 注意我们要初始化每行的第一个位置为1。
      • 一个矩形区域被划分为N*M个小矩形格子，在格子(i,j)中有A[i][j]个苹果。现在从左上角的格子(1,1)出发，要求每次只能向右走一步或向下走一步，最后到达(N,M)，每经过一个格子就把其中的苹果全部拿走。请找出能拿到最多苹果数的路线。
        • 分析：这道题中，当前位置(i,j)是状态，
        • 用M[i][j]来表示到达状态(i,j)所能得到的最多苹果数，
        • 那么M[i][j] = max(M[i-1][j],M[i][j-1]) + A[i][j] 。特殊情况是M[1][1]=A[1][1]，当i=1且j!=1时,M[i][j] = M[i][j-1] + A[i][j]；当i!=1且j=1时M[i][j] = M[i-1][j] + A[i][j]。

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