leetcode 1025. 除数博弈 Divisor Game 解法 python

一.问题描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

 

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

 

提示：

1. 1 <= N <= 1000

 

二.解决思路

这道题是一道动态规划题，主要是找到f(n)和f(n-1)的关系，同时还可以有一些剪枝操作。

f(n)为true 后者 false， true表示alice能赢

博弈问题，首先梳理一下游戏赢的形式。

题目说两个人都会选择最优的走法

简单来说主要就是看alice的第一步

如果alice所有第一步的走法都没办法让自己获得胜利，那么就是bob胜利

如果alice存在一个第一步的走法让自己获胜，那就是alice赢了

i为任意1到j/2之间的数

题目给出N，我们设两个数 1<=i<=j/2

假设j%i==0

我们来探索一下f(j)和f(j-i)之间的关系

在f(j)时，alice选择i作为除数，这是轮到bob选择，bob所面临的情况(即所能选的走法就）和alice在f(j-i)的时候一样

因此如果bob在此时能赢，那么alice选i作为除数这步就输了，如果bob在这步所有可能的走法都输，那么alice选i这步就能赢

如果alice遍历了所有的除数都没办法让bob输，那他自己就输了

然后还有一点剪枝

令j=2t

我们可以知道，如果在f(t)的时候alice赢不了，那在f(2t)的时候alice就一定能赢

因为只需要让alice第一步选择的除数为N，那么bob在第二步就得面对alice在f(t)所要面对的情况

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三.源代码

import math
class Solution:
    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        rsts=[False]*(N+1)
        for i in range(2,N+1):    
            if i%2==0 and rsts[int(i/2)]==False:  # pruning
                rsts[i]=True
                continue
            for j in range(1,int(math.sqrt(i))):
                if i%j==0:
                    if rsts[i-j]==False or (j!=1 and rsts[i-int(i/j)]==False) :
                        rsts[i]=True
                        break        
        return rsts[N]