【最短路+坐标变换】BZOJ4061[Cerc2012]Farm and factory

【题目】
原题地址
有一个 n 点 m 边的带权连通无向图，现在要增加一个点，和一些有权边使得这个点和原来的图连通，要求原图每个点到点 1 和点 2 存在一条最短路不经过新点，最小化新点到原图所有点的距离平均值，新边的边权可以是实数，答案误差不超过 10−8 。
2≤n≤105,m≤3×105,边权≤106 。

【题目分析】
显然是最短路相关，但核心并不明显。
所以我们应该先化一下式子再考虑其他东西。

【解题思路】
设 dis(i,j) 表示原图中 i 到 j 的最短路， dis′(i,j) 表示新图中 i 到 j 的最短路，新点为 c 。

可以发现，新加一个点后，这个点不会松弛原图到1或2的最短路的条件是： dis′(u,c)>=|dis(u,1)−dis‘(c,1)| 且 dis′(u,c)>=|dis(u,2)−dis′(c,2)| 。

则要想最小化答案的话就应该是： dis′(u,c)=max|dis(u,1)−dis‘(c,1)|,|dis(u,2)−dis′(c,2)| ，这样答案的合式里有 dis′(c,1) 和 dis′(c,2) 是未知数。

下面坐标变换是重点

可以发现，如果把 (dis′(u,1),dis′(u,2)) 当作二维平面上的点，答案的合式即 n 个点到某个点的切比雪夫距离之和，而切比雪夫距离可以通过坐标变换（例如坐标轴旋转45度）变成曼哈顿距离，而最小化曼哈顿距离和就是直接按维度找中位数即可。

同时为了减少精度误差，我们将坐标变换成原来两倍，即可全部使用整数，最后输出的时候除以 2n 即可，总时间复杂度 O(nlogn) 。

还要卡时间，可能是自己写的太丑了，+读优后9.3s，加上BZOJ的TLE判定机制才过了。
当然可能还有很多好的做法qwq。只是我不会TAT。

【参考程序】

#include
#define mkp(x,y) make_pair(x,y) 
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pairint> way;
const int N=1e5+10;
const int INF=0x3f;
int T,n,m;
LL dis[2][N],x[N],y[N],ans;
bool vis[2][N];
vectore[N];
priority_queuevector,greater >q;

int read()
{
    int x=0,t=1;
    char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')
        ch=getchar();
    if(ch=='-')
        t=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')
        x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}

void init()
{
    ans=0;
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    n=read();m=read();
    for(int i=0;ifor(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u,v,w;
        u=read();v=read();w=read();
        --u;--v;
        e[u].push_back(mkp(w,v));
        e[v].push_back(mkp(w,u));
    }
}

void solve()
{
    for(int s=0;s<2;++s)
    {
        while(!q.empty())
            q.pop();

        dis[s][s]=0;
        q.push(mkp(dis[s][s],s));
        while(!q.empty())
        {
            int u=q.top().second;q.pop();
            if(vis[s][u])
                continue;
            for(int i=0;iint v=e[u][i].second;
                LL w=e[u][i].first;
                if(dis[s][v]>dis[s][u]+w)
                {
                    dis[s][v]=dis[s][u]+w;
                    q.push(mkp(dis[s][v],v));
                }
            }
/*          for(vector::iterator it = e[u].begin(); it != e[u].end(); ++it)  
            {  
                int &v = it -> second;  
                LL &w = it -> first;  
                if(dis[s][v] > dis[s][u] + w)  
                {  
                    dis[s][v] = dis[s][u] + w;  
                    q.push(mkp(dis[s][v], v));  
                }  
            } */
        }
    }

    for(int i=0;i0][i]+dis[1][i];
        y[i]=dis[0][i]-dis[1][i];
    }
    sort(x,x+n);sort(y,y+n);

    LL tx=x[n>>1],ty=y[n>>1];
    for(int i=0;iabs(x[i]-tx)+abs(y[i]-ty);
    printf("%0.12f\n",ans/(2.0*n));
}

int main()
{
    freopen("BZOJ4061.in","r",stdin);
    freopen("BZOJ4061.out","w",stdout);

    T=read();
    while(T--)
    {
        init();
        solve();
    }

    return 0;
}

【总结】
坐标变换来简化计算，实际上在QBXT也是讲过的，只是当时听的不太细，旋转45度之类的不知道是讨论什么距离和什么距离之间的，现在多了解了一点QAQ。