信号与系统在图像的应用

最近把信号与系统的东西又看了一遍，但是一边看一边忘，有必要整理归纳一下。

一、傅里叶级数

csdn好像不能编辑公式，我就不再罗列公式了。

傅里叶级数用于周期的连续函数，做的是求和运算。

傅里叶级数是为了引出傅里叶变换。

二、傅里叶变换

傅里叶变换，针对的是非周期连续函数，要求函数可积分。

对于这部分，着重理解采样的概念。

包括过采样，欠采样等，欠采样会导致图像出现混淆，意味着图像表达的和实际场景并不一致，出现失真 。

奈奎斯特采样定律指出如果要无失真还原出原始信号，采样率不小于函数最大频率的2倍。

三、离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换针对的是离散的情况，是对连续信号进行等间隔采样之后的处理。

离散傅里叶变换对是周期的。

因为图像就是离散的数值，所以离散傅里叶变换用于对图像做频域的分析和处理。

离散傅里叶变换对是周期的，所以把图像当做周期函数的一个周期进行处理。

在进行空域卷积的时候，因为是周期函数，为避免缠绕错误，需要对图像进行0值填充，将两个不同尺寸的矩阵填充到相同的尺寸。

我觉得对于卷积本身来说，并不一定要空间滤波器的尺寸和图像的尺寸一样大，如果真的是一样大，并且都有非零数值的话，那这个计算量就太大了。

但是如果需要对滤波器进行频域分析的话，必须要对空间滤波器进行填充，使得图像和滤波器具有相同的尺寸。

因为卷积定理中，空域卷积和频域乘积，互为一对DFT的前提，是两个频域公式的尺寸相同，如果尺寸不同，频域没法做乘法。

我们常用的滤波器尺寸一般是3x3，5x5等比较小的尺寸，进行填充之后，比如填充到720x480，原来的滤波器在中心的位置，其他数值为0，所以在实际运算的时候，虽然滤波器尺寸很大，但是起作用的只有中间的一小块。

四、快速傅里叶变换FFT

快速傅里叶变换是为了加速离散傅里叶变换的。