sml基本语法(三)——函数
写在前面
- 本博客更类似博主本人的学习笔记，请各位谨慎参考，以防被误导
- 由于写本篇时对函数式编程仍然理解不够深入，现在看来命令式思维很重，但是作为
sml入门来说应该有些心得的确能帮助到大家
语法原型（数学中）
通常表示函数，是
f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f(x) = x^2+2x+1 f(x)=x2+2x+1
数学中，函数还有其他表示方法
f : R → R : x ∈ R ↦ x 2 + 2 x + 1 f: R\to R:x \in R \mapsto x^2+2x+1 f:R→R:x∈R↦x2+2x+1
ML语言中的函数正是这种表示方式，它表明 f f f是 R → R R \to R R→R（定义域为 R R R，陪域为 R R R）上的函数
第二种表示方式的优势：
- 将函数的
名称，类型和映射分离开 - 函数更像是
“值”（例如数学中的关系，特定的有序数对）
函数的类型（ f u n c t i o n function function t y p e type type）
格式：typ -> typ'
说明：typ 指参数的类型（domain type），typ’ 指结果的类型（range type）
函数的“值”（两种类型）
- 基本函数（primitive functions），例如 加函数、开方函数
- λ \lambda λ表达式（function expressions）
格式：fn var : typ => exp
说明：var被称作形式参数，typ是它的类型；exp被称作函数的body（内容）
举例：fn x : real => Math.sqrt (Math.sqrt x)
这是一个开四次方功函数
(fn x : real => Math.sqrt (Math.sqrt x)) (16.0)
我们说这个函数是“匿名的”
补充：很多书上会以 λ x . e \lambda x.e λx.e表示函数，这就是 λ \lambda λ函数的另一种写法，这种写法更能体现函数就是一个value，其中x是形参，e是表达式，示例如下：(1) 该函数作用是生成平面上的第一象限整点序列(包括xy轴)；(2) 先看最内层括号 λ y . ( x , y + 1 ) \lambda y.(x, y+1) λy.(x,y+1)接收形参y返回元组 ( x , y + 1 ) (x, y+1) (x,y+1)，于是在tabulate作用下形成新的关于x的映射序列 < ( x , 1 ) , ( x , 2 ) , . . . , ( x , n ) > <(x,1),(x,2),...,(x,n)> <(x,1),(x,2),...,(x,n)>；(3) 在最外层tabulate作用下，对每个 ∀ x ∈ Z ( x , k ) \forall x\in Z(x,k) ∀x∈Z(x,k)生成长度为n的序列，共n个序列；(4) flatten函数将这些序列合并为一个序列。
(*伪代码*)
pionts2D n =
flatten (tabulate (λx.tabulate (λy.(x, y+1)) n) n)
声明方式（两种）
- val 声明法，格式为
val var1 : typ1 = exp1（详见sml基本语法(二)）
val fourthroot : real -> real =
fn x : real => Math.sqrt (Math.sqrt x)
这相当于将 fn x : real => Math.sqrt (Math.sqrt x) 绑定到 fourthroot 上
- fun声明
格式：fun fname (var:dtyp):rtyp = fexps，
说明：fname函数名，var参数，dtyp参数类型，rtyp返回值类型，fexps操作表达式其结果为返回值，
本质：val声明的简写版，fn记法就是函数表示成值的一种记法，由此可见函数声明和ML中其它变量声明没有区别
fun fourthroot (x:real):real = Math.sqrt (Math.sqrt x)
执行过程
遵守call-by-value的原则：函数参数的求值要优先于函数的调用
///~eg:
fun fourthroot (x:real):real = Math.sqrt (Math.sqrt x);
fourthroot (2.0+2.0);
- 计算fourthroot函数的值为 fn x : real => Math.sqrt (Math.sqrt x)；
- 计算参数表达式 2.0+2.0的值为 4.0；
- 将形参x赋值为 4.0；
- 计算 Math.sqrt (Math.sqrt x) 的值为 1.414 (近似)：(过程如下)
a) 计算Math.sqrt的值 (为基本函数中的root function)；
b) 计算参数表达式 Math.sqrt x的值, 约等于2.0；
i. 计算Math.sqrt的值 (为基本函数中的root function)；
ii.已绑定的x的值为 4.0；
iii. 计算4.0的正算术平方根结果为 2.0；
c)计算2.0的正算术平方根结果为 1.414； - 回收 x所绑定值的所占空间。
作用域及句法
单独列出ml语言中函数作用域的特性意义不大，因为它完全遵照static, lexical这两个特性，所以通过举例来加深理解：
1.同名变量
///~eg:
fun h(x:real) =
let val x = 2.0 in x+x end * x;
(1) let语句中的 x x x会覆盖 h h h函数中形参 x x x(相当于开辟新栈)，自然let语句的值(即let语句body的值，in后的表达式的值)所使用的 x x x是 2.0 2.0 2.0；
(2) let语句结束（相当于出栈）， x x x即为 h h h的形参 x x x。
2.无return语句
ML为函数式语言，无return语句，自然将表达式的值直接作为返回的结果。一个函数返回一个值(结果)，函数内部不存在多个并列的结果，换句话说函数定义的=后只能接一个表达式。
对1中的例子而言=后的表达式就是一个实数乘法表达式(real1*real2)，let语句的值只作为中间结果。
但有时并列的写一些无关的、不作为返回结果的表达式可以便于我们书写代码，那么如何实现呢？
实际上使用命令组即可
( E 1 ; E 2 ; . . . ; E n ) (E_1;E_2;...;E_n) (E1;E2;...;En)
该表达式的值为 E n E_n En的值，其他表达式的值均会被丢弃。
ps：括号一般不会省去（只有在let语句中的exp中可省去），可参考
3.避免繁杂的if else语句
ML语言中支持称为“模式”的书写方式，这样可以避免多个if-else嵌套写到底，下面以返回表中最大元素为例（部分代码， m a x L I s t maxLIst maxLIst实际返回 p 1 p1 p1(指形参1，下同)的降序表）：
///~eg:
fun maxList([], ys) = ys
| maxList(x::xs, []) = maxList(xs, x::[])
| maxList(x::xs, ys) =
if x > hd ys then maxList(xs, x::ys) else maxList(xs, ys);
使用|将 m a x L i s t maxList maxList函数分为不同的匹配模式：
(1).p1为空表时，
(2).p2为空表时，
(3).p1, p2均不为空表时。
省去不必要的if-else，只对算法真正需要的地方使用if-else，不仅可以是代码结构清晰，有时可以更好地避免一些边界情况。
4.递归式的程序
虽然ML语言支持使用while命令式循环语句：
while E1 do E2
///等价于，(实际上被递归地定义为)
while E1 do E2 =
if E1 then (E2; while E1 do E2)
else ();
但这样显然不是函数式编程的风格。
众所周知，递归式的程序虽然结构清晰，但频繁的出入栈操作对时空资源的开销很大，所以如何在时间和空间上平衡是编写较为高效的递归程序的关键，下面用两个常用技巧作为例子：
-
纯递归=>迭代式递归
这种技巧常用于已知确切的递归次数 -
使用额外的标签
例如表操作中尽量少用追加@，直接在方法中使用::添加在新的表标签中
///~eg1:
fun fact (n) =
if n = 1 then 1 else n*fact(n-1);
///~eg2:
fun fact(n, p) =
if n = 0 then p else fact(n-1, n*p);
(*调用时p初值为1*)
与eg1相比，eg2通过上述两个技巧直接减少了递归过程中的中间值。