C语言快速实现优先队列（排雷）

写在前面

• C语言没有自带常用数据结构的库，所以当需要使用它们处理问题时必须自己实现它们。
• 解题时快速并正确实现数据结构的ADT可以为我们节省宝贵的时间去解决真正的问题。
• 本博客本更像是个人的排坑排雷笔记，讲解不全请见谅，但如果对你有一点启发那就再好不过了。

优先队列

为了简单起见，存放数据的结构使用数组。

1. 组织序号
   我们知道优先队列，也叫大（小）顶堆（默认为二叉堆）。堆是一棵完全二叉树，但实际上我们使用数组并通过组织序号便能够表示它，这依赖于完全二叉树的良好性质。
   为防止以后出错或造成混乱，实现前一定要先确定好如何组织序号：

• 从 $index=0$ 开始存放数据
  $son=2\cdot dad+1$

• 从 $index=1$ 开始存放数据（此时数组的第一个位置不要存放元素）
  $son=2\cdot dad$

  （1）上面的$son$均为左儿子，因为实际情况右儿子可能不存在，而且显然$so{n}_{right}=so{n}_{left}+1$
  （2）由 $son$ 推 $dad$ 经上式变形注意取整问题即可

  这些规律根据完全二叉树的性质可以严谨的证明出来，但为了快捷，可以联想哈弗曼二进制编码，以 $index=1$ 开始存放数据为例
  
  观察可发现
  （1）向左子树走在末尾添$0$，向右子树走添加$1$
  （2）$\times 2$操作在二进制下即添加$0$，也就是找左儿子，对应式子$so{n}_{left}=2\cdot dad$
  （3）如果是从 $index=0$开始存，仅需在记忆 $index=1$ 的情况下$+1$即可

2. 建堆操作
   以 $index=0$ 起始建立小顶堆为例

// start 起始索引 end 末尾索引
// min_heapify 在更新根节点后维护整个堆的堆序性
void min_heapify(ElementType* elements, int start, int end){
    int dad, son;//左儿子
	
	for(dad = start;2*dad + 1 <= end;dad = son){
		son = 2*dad + 1;
		//找到更小的儿子
		if(son+1 <= end && elements[son+1]<elements[son])
			son ++;
		if(elements[dad] < elements[son]) return;
		//进行下渗操作
		else swap(&elements[dad], &elements[son]);		
	}	
}

void createHeap(ElementType* elements, int elementsSize){
	int i;
	for(i = elementsSize/2 - 1;i >= 0;i --)
		min_heapify(elements, i, elementsSize - 1);
}

• 注意min_heapify的作用以及调用它的前置条件：
  （1）min_heapify的作用是在更新根节点后维护整个堆的堆序性
  （2）默认此刻根节点的左子树和右子树都满足堆序性（都是小顶堆）
• 无论插入还是删除元素，都有以下共同临界的判断：
  （1）$son<=end$ ，其中$son$表示左儿子，$end$表示最后一个元素的索引
  （2）插入或者维护堆序性时，容易在偶数个节点时出错，及注意下面的判断：
  $son+1<=end$，在找更小节点时，右儿子可能压根不存在！

/*（1）对应*/					2*dad + 1 <= end
/*（2）对应*/		if(son+1 <= end && elements[son+1]<elements[son])

• 创建堆
  （1）从第一个非叶子节点开始至根节点，逐一维护它们的堆序性（先保证子是堆，再来向上扩展）
  （2）如何计算第一个非叶子节点？建议根据父子序号关系从简单情况找规律，还要注意是使用索引还是数组长度计算。（如果规定用数组长度（与节点个数无关，只看“数组”）可以统一）
  $$last=len/2-1$$

/*对应*/				i = elementsSize/2 - 1

3. 删除操作（deleteMin）

//确保调用时 堆 非空
ElementType deleteMin(ElementType* elements, int elementsSize){
	int empty, son;//empty为空穴 son为空穴的左子
	ElementType min = elements[0], lastone = elements[--elelementsSize - 1];

	for(empty = 0;empty*2+1 < elementsSize;empty = son){
		son = 2*empty + 1;
		//找到更小的儿子
		if(son+1 < elementsSize && elements[son+1]<elements[son])
			son ++;
		if(lastone < elements[son]) break; 
		else elements[i] = elements[son]; //上溢
	}
	elements[i] = lastone;

	return min;
}

• 上面提到的临界判断依旧
• 删除最容易出错的地方就是，如何确保正确的补充空穴
  $lastone$ 指最后一个元素

for{
	//.....
	if(lastone < elements[son]) break; 
		else elements[i] = elements[son]; //上溢
	/......
}
elements[i] = lastone;