现代控制理论5——稳定性与稳定性判据

注：本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》（郭建国、赵斌、郭宗易）的课程进行随笔记录与整理

一.李雅普诺夫稳定性理论

1.前期铺垫~

！：稳定性是系统正常工作的重要特性
稳定性，是描述初始条件（不一定为0）下，系统是否具有收敛性，与输入作用无关
在经典控制理论中，有代数判据（劳斯、霍尔维茨）、奈奎斯特判据、对数判据、根轨迹判据

而经典控制理论有其缺陷：
针对外部描述模型；
判断线性定常系统，不使用于时变和非线性
相平面法只适用于一阶、二阶非线性系统

而1892年李雅普诺夫提出的稳定性理论有很强优越性：
针对内部描述模型；
适用于单变量、线性、定常；
适用于多变量；非线性；时变系统

李雅普诺夫提出的稳定性理论包括：
第一法（间接法）和第二法（直接法）

2.李雅普诺夫第一法

（1）基本概念

李普希兹（lipschitz）条件（解的存在性条件）：
||f(x,t)-f(y,t)|| ≤ K||x-y|| ， ||f(x,t)|| ≤ M

摘自百度：以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

即：此函数任意取点所得到的斜率，都不会超过一个最小的常数K。用lipschitz条件可以体现函数的光滑性。

动态系统要求：
x` = f(x , t) t ≥ t0
f(x , t) 内任意的线性或非线性、定常或时变的n维函数，满足lipschitz条件
记其解为：x(t: x0, t0)
从任意初始状态出发解x(t: x0, t0)，唯一且连续地依赖于初始状态x(t0)=x0

平衡状态/平衡点
满足 f(xe, t) = 0， 状态xe称为平衡状态。
平衡状态意味着f(xe, t) = 0，系统所有状态变量不再变化 xe`=0 (xe的导数为0)

注意：
· 线性定常系统只有唯一零解，即存在一个位于原点的平衡状态。 x`=Ax, xe=0
· 线性系统有唯一的一个平衡状态——平衡状态稳定性即表征了系统的稳定性
· 非线性系统的平衡状态可能有多个，取决于系统方程 f(x, t) = 0（各个平衡点的稳定性不相同，要逐个考虑）

状态偏差向量
||x0-xe||：初始状态偏差向量的范数
其几何意义：“初始状态偏差向量”的空间距离尺度
定义式为：

||x(t: x0,t0)-xe||：“状态偏差向量”的空间距离尺度

（2）李雅普诺夫稳定性定义

局部稳定：
对于任意实数ε＞0，如果存在δ(t0,ε)>0，使得当**||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时**，系统的解满足
||x(t: x0,t0) - xe|| ≤ ε t≧t0，则称该平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定性
即：开始在δ邻域内，过了有限时间，系统一直在ε邻域内。

渐近稳定：
||x(t: x0,t0) - xe||→0

工程设计中的稳定性一般指渐进稳定，而李雅普诺的稳定性属于临界稳定性。

大范围（全局）渐近稳定（全局稳定）
当初始扰动δ趋向于无穷，由状态空间任意一点出发的轨迹都收敛至平衡状态。
（主要针对时变系统）

一致稳定
时变系统的δ与ε和t0有关，定常系统的δ与t0无关。只要δ与t0无关，这种平衡状态称为一致稳定的。

不稳定性
对于任意实数ε＞0，如果存在δ(t0,ε)>0，使得当||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时，系统的解满足
||x(t: x0,t0) - xe|| > ε , t≧t0

即：不管初始扰动有多小，都将趋向最远

3.李雅普诺夫第二法

由于第一法需要进行求解，才能用解进行判断；而第二法可以不用求解来判断稳定性
构造一个类似于能量的标量函数，V（x,t）
能量总大于0，因此V(x,t) 是一个正定函数
其能量衰减特性用V`（x,t）表征。

利用V和V`的符号特征直接对平衡性进行判断
正定性
标量函数V（x）在S域中对所有非零状态有V（x）>0，且V（0）=0，则称V（x）在S域内正定。
负定性
标量函数V（x）在S域中对所有非零状态有V（x）<0，且V（0）=0，则称V（x）在S域内正定。
负(正)半定性
标量函数V（x）在S域中对某些状态有V（x）=0且V（0）=0，其他均有V（x）<0（V（x）>0），则称V（x）在S域内负(正)半定。
不定性
V（x）在S域中可正可负，则称V（x）不定。
例如：V（x）=x1x2

如何判断一个函数是正定性？
常采用二次型函数：其中P是对称阵
对P用塞尔维斯特准则判定：
当P的各顺序主子行列式均大于零，则为正定性；
当主子行列式负正相间（奇数阶负，偶数阶正），则为负定性；
对应主子行列式且含有等于0的情况时，则为负半定或者正半定；
不属于以上情况输入不定性。

李雅普诺夫第二稳定性定理：
基本条件：系统状态方程为x`=f（x,t），把原点作为平衡状态，在原点邻域存在向量的标量函数V(x，t)，具有一阶偏导
定理：

V(x,t)	V`(x,t)	稳定性	意义
正定	负定	渐进稳定	能量函数的能量随时间单调递减
正定	负半定，且在原点不恒为0	渐进稳定	状态轨迹只经历能量不变状态，但是会继续运行至原点
正定	负半定，且在原点恒为0	局部稳定
正定	正半定，且在原点恒为0	局部稳定	系统将维持某能量水平运行而不再衰减
正定	正半定，且在原点不恒为0	不稳定
正定	正定	不稳定	能量函数的能量随时间增大，状态从原点发散

注：
1.以上定理是充分条件
2.李雅普诺夫函数选取不唯一，但不会因选取不同影响对稳定性的判断
3.对非线性函数，目前没有构造李雅普诺夫函数的一般方法；对于线性定常系统常用二次型函数作为李雅普诺夫函数。

解的步骤：
①验证原点： 令x1 ， x2的导数为零，可得x1,x2为零，可知原点为平衡点
②设李雅普诺夫函数： 通常用二次型函数
③进行判定

二.特征值判据

思想：来源于经典控制理论中，极点在左半平面则稳定的判断方法。

使用范围：
对于线性定常系统

内容：系统渐近稳定的充要条件是，系统矩阵A的特征值全部位于复平面左半部分（不包括虚轴）。
当有特征值落在虚轴上，此时系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。
当有在右半平面，则系统不稳定。

举例：

三.基于李雅普诺夫方程值判据

系统渐进稳定的充要条件是：
给定一正定实对称矩阵Q，有唯一正定实对称矩阵P使（李雅普诺夫方程）成立。

！：此定理给出了判断线性系统是否渐进稳定、及构造线性渐近稳定系统李雅普诺夫函数的一般方法，当解得阵P为非正定时，系统是非渐近稳定。
显而易见，任选对称阵Q（通常选单位矩阵最方便），然后判断阵P是否正定对称，只需一次计算就可确定系统是否渐近稳定。

例如：

对于线性离散系统，也有相应特征值判据，此处不记录。