现代控制理论5——稳定性与稳定性判据

注:本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》(郭建国、赵斌、郭宗易)的课程进行随笔记录与整理

一.李雅普诺夫稳定性理论

1.前期铺垫~

!:稳定性是系统正常工作的重要特性
稳定性,是描述初始条件(不一定为0)下,系统是否具有收敛性,与输入作用无关
在经典控制理论中,有代数判据(劳斯、霍尔维茨)、奈奎斯特判据、对数判据、根轨迹判据

而经典控制理论有其缺陷:
针对外部描述模型;
判断线性定常系统,不使用于时变和非线性
相平面法只适用于一阶、二阶非线性系统

而1892年李雅普诺夫提出的稳定性理论有很强优越性:
针对内部描述模型;
适用于单变量、线性、定常;
适用于多变量;非线性;时变系统

李雅普诺夫提出的稳定性理论包括:
第一法(间接法)和第二法(直接法

2.李雅普诺夫第一法

(1)基本概念

李普希兹(lipschitz)条件(解的存在性条件):
||f(x,t)-f(y,t)|| ≤ K||x-y|| , ||f(x,t)|| ≤ M

摘自百度:以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名,是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上,利普希茨连续函数限制了函数改变的速度,符合利普希茨条件的函数的斜率,必小于一个称为利普希茨常数的实数(该常数依函数而定)。

即:此函数任意取点所得到的斜率,都不会超过一个最小的常数K。用lipschitz条件可以体现函数的光滑性。

动态系统要求:
x` = f(x , t) t ≥ t0
f(x , t) 内任意的线性或非线性、定常或时变的n维函数,满足lipschitz条件
记其解为:x(t: x0, t0)
从任意初始状态出发解x(t: x0, t0),唯一且连续地依赖于初始状态x(t0)=x0

平衡状态/平衡点
满足 f(xe, t) = 0, 状态xe称为平衡状态。
平衡状态意味着f(xe, t) = 0,系统所有状态变量不再变化 xe`=0 (xe的导数为0)

注意:
· 线性定常系统只有唯一零解,即存在一个位于原点的平衡状态。 x`=Ax, xe=0
· 线性系统有唯一的一个平衡状态——平衡状态稳定性即表征了系统的稳定性
· 非线性系统的平衡状态可能有多个,取决于系统方程 f(x, t) = 0(各个平衡点的稳定性不相同,要逐个考虑)

状态偏差向量
||x0-xe||:初始状态偏差向量的范数
其几何意义:“初始状态偏差向量”的空间距离尺度
定义式为:
在这里插入图片描述
||x(t: x0,t0)-xe||:“状态偏差向量”的空间距离尺度

(2)李雅普诺夫稳定性定义

局部稳定:
对于任意实数ε>0,如果存在δ(t0,ε)>0,使得当**||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时**,系统的解满足
||x(t: x0,t0) - xe|| ≤ ε t≧t0,则称该平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定性
即:开始在δ邻域内,过了有限时间,系统一直在ε邻域内。
现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第1张图片
渐近稳定:
||x(t: x0,t0) - xe||→0
现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第2张图片
工程设计中的稳定性一般指渐进稳定,而李雅普诺的稳定性属于临界稳定性

大范围(全局)渐近稳定(全局稳定)
当初始扰动δ趋向于无穷,由状态空间任意一点出发的轨迹都收敛至平衡状态。
(主要针对时变系统)
现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第3张图片
一致稳定
时变系统的δ与ε和t0有关,定常系统的δ与t0无关。只要δ与t0无关,这种平衡状态称为一致稳定的。

不稳定性
对于任意实数ε>0,如果存在δ(t0,ε)>0,使得当||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时,系统的解满足
||x(t: x0,t0) - xe|| > ε , t≧t0
现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第4张图片
即:不管初始扰动有多小,都将趋向最远

3.李雅普诺夫第二法

由于第一法需要进行求解,才能用解进行判断;而第二法可以不用求解来判断稳定性
构造一个类似于能量的标量函数,V(x,t)
能量总大于0,因此V(x,t) 是一个正定函数
能量衰减特性用V`(x,t)表征

利用V和V`的符号特征直接对平衡性进行判断
正定性
标量函数V(x)在S域中对所有非零状态有V(x)>0,且V(0)=0,则称V(x)在S域内正定。
负定性
标量函数V(x)在S域中对所有非零状态有V(x)<0,且V(0)=0,则称V(x)在S域内正定。
负(正)半定性
标量函数V(x)在S域中对某些状态有V(x)=0且V(0)=0,其他均有V(x)<0(V(x)>0),则称V(x)在S域内负(正)半定。
不定性
V(x)在S域中可正可负,则称V(x)不定。
例如:V(x)=x1x2

如何判断一个函数是正定性?
常采用二次型函数:其中P是对称阵现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第5张图片
对P用塞尔维斯特准则判定:
当P的各顺序主子行列式均大于零,则为正定性;
当主子行列式负正相间(奇数阶负,偶数阶正),则为负定性;
对应主子行列式且含有等于0的情况时,则为负半定或者正半定;
不属于以上情况输入不定性。

李雅普诺夫第二稳定性定理:
基本条件:系统状态方程为x`=f(x,t),把原点作为平衡状态,在原点邻域存在向量的标量函数V(x,t),具有一阶偏导
定理:

V(x,t) V`(x,t) 稳定性 意义
正定 负定 渐进稳定 能量函数的能量随时间单调递减
正定 负半定,且在原点不恒为0 渐进稳定 状态轨迹只经历能量不变状态,但是会继续运行至原点
正定 负半定,且在原点恒为0 局部稳定
正定 正半定,且在原点恒为0 局部稳定 系统将维持某能量水平运行而不再衰减
正定 正半定,且在原点不恒为0 不稳定
正定 正定 不稳定 能量函数的能量随时间增大,状态从原点发散

注:
1.以上定理是充分条件
2.李雅普诺夫函数选取不唯一,但不会因选取不同影响对稳定性的判断
3.对非线性函数,目前没有构造李雅普诺夫函数的一般方法;对于线性定常系统常用二次型函数作为李雅普诺夫函数

解的步骤:
①验证原点: 令x1 , x2的导数为零,可得x1,x2为零,可知原点为平衡点
②设李雅普诺夫函数: 通常用二次型函数
③进行判定

二.特征值判据

思想:来源于经典控制理论中,极点在左半平面则稳定的判断方法。

使用范围:
对于线性定常系统

内容:系统在这里插入图片描述渐近稳定的充要条件是,系统矩阵A的特征值全部位于复平面左半部分(不包括虚轴)。
当有特征值落在虚轴上,此时系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。
当有在右半平面,则系统不稳定。

举例:
现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第6张图片

三.基于李雅普诺夫方程值判据

系统在这里插入图片描述渐进稳定的充要条件是:
给定一正定实对称矩阵Q,有唯一正定实对称矩阵P使在这里插入图片描述(李雅普诺夫方程)成立。

!:此定理给出了判断线性系统是否渐进稳定、及构造线性渐近稳定系统李雅普诺夫函数的一般方法,当解得阵P为非正定时,系统是非渐近稳定。
显而易见,任选对称阵Q(通常选单位矩阵最方便),然后判断阵P是否正定对称,只需一次计算就可确定系统是否渐近稳定。

例如:
现代控制理论5——稳定性与稳定性判据_第7张图片
对于线性离散系统,也有相应特征值判据,此处不记录。

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