乱搞向——二维坐标系曼哈顿距离和切比雪夫距离转换的简要数学证明

当然这个东西有更好的解释方法。。。这里纯属娱乐233
说正事之前，先定义一些东西
定义 a(x1,y1),b(x2,y2)(x1<=x2,y1<=y2) a ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) ( x 1 <= x 2 , y 1 <= y 2 ) （这样方便证明，其他情况是一样的）， dist(a,b) d i s t ( a , b ) 表示i，j两点的曼哈顿距离

---

注意：这不是在推出来两者的关系QAQ
因为如果直接写的话我会证成什么样子都不知道QAQ
刚做一题切比雪夫转曼哈顿的神（其实是丝薄）题，顿时有感而发，想证明一下这个东西：

max(|x2−x1|,|y2−y1|)=dist((x2+y22,x2−y22),(x1+y12,x1−y12)) m a x ( | x 2 − x 1 | , | y 2 − y 1 | ) = d i s t ( ( x 2 + y 2 2 , x 2 − y 2 2 ) , ( x 1 + y 1 2 , x 1 − y 1 2 ) )

等号左边就是切比雪夫距离（就是横纵坐标之差的较大值）
现在我们来证明这个结论！
我们把右边化开来：

dist((x2+y22,x2−y22),(x1+y12,x1−y12)) d i s t ( ( x 2 + y 2 2 , x 2 − y 2 2 ) , ( x 1 + y 1 2 , x 1 − y 1 2 ) )

=|(x2+y2)−(x1+y1)2|+|((x2−y2)−(x1−y1)2| = | ( x 2 + y 2 ) − ( x 1 + y 1 ) 2 | + | ( ( x 2 − y 2 ) − ( x 1 − y 1 ) 2 |

=|(x2+y2)−(x1+y1)|+|(x2−y2)−(x1−y1)|2 = | ( x 2 + y 2 ) − ( x 1 + y 1 ) | + | ( x 2 − y 2 ) − ( x 1 − y 1 ) | 2

=|(x2−x1)+(y2−y1)|+|(x2−x1)−(y2−y1)|2 = | ( x 2 − x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) | + | ( x 2 − x 1 ) − ( y 2 − y 1 ) | 2

接下来开始分类讨论
如果 x2−x1>y2−y1 x 2 − x 1 > y 2 − y 1 ：

=x2−x1+y2−y1+x2−x1−y2+y12=x2−x1 = x 2 − x 1 + y 2 − y 1 + x 2 − x 1 − y 2 + y 1 2 = x 2 − x 1

如果 x2−x1<y2−y1 x 2 − x 1 < y 2 − y 1 ：

=x2−x1+y2−y1+y2−y1−x2+x12=y2−y1 = x 2 − x 1 + y 2 − y 1 + y 2 − y 1 − x 2 + x 1 2 = y 2 − y 1

如果等于呢？那就是两个都可以了啊
当然这里拿了一个特殊例子来证，其实所有情况都是一样的（就是拿绝对值符号的问题QAQ）
这样呢就可以解决一些神奇的切比雪夫距离的问题了
比如这个： Luogu3964
把切比雪夫转成曼哈顿然后直接前缀和一波……
就是这样啊