[完全背包问题]状态转移方程及其优化理解.

完全背包问题：

题目描述

现在有一个容量为V的背包，现在有N种物品可选，不同于01背包的是每件物品可以取无限件,每种物品有价值和大小。求背包最大价值。

可以很容易想到最基本的状态转移方程：

f[i][v] = max(f[i-1][v-k*c[i]] + k*v[i]|0 <= k*c[i] <= v)

进一步优化，可以想到，每次求f[i][v]可以采用这样的策略：将已经装载过的f[i][v]用于状态转移方程;

f[i][v] = max(f[i-1][v],f[i][v-cost[i] + v[i])

对i,v进行遍历，可以知道f[i][v]的状态通过f[i][v-cost[i]+v[i]计算而知，恰好满足物品可以取无限件的要求。

再进一步优化，类似于01背包，可以通过改写V遍历的顺序（0...V)得到上一步计算的f[v]就相当于f[i-1][v],f[v-cost[i]]+v[i]就相当于f[i][v-cost[i]]+v[i].

f[v] = max(f[v],f[v-cost[i]]+v[i])

某完全背包问题例题：

P1616 疯狂的采药

#include 
#include 

using namespace std;

int DP[100001] = {0};

int Val[10001];
int Time[10001];

int main(void)
{
    int T,M;
    cin >> T >> M;
    for(int i = 1;i <= M;i++)
    {
        cin >> Time[i] >> Val[i];
    }
    
    for(int i = 1;i <= M;i++)
    {
        for(int j = 0;j <= T;j++)
        {
            if(j >= Time[i])
            {
                DP[j] = max(DP[j],DP[j-Time[i]]+Val[i]);
            }
        }
    } 

    cout << DP[T] << endl;
    return 0;
}