MATLAB 验证时域和频域卷积定理

时域卷积定理：
WIKI：$F\{f\ast g\}=F\{f\}\cdot F\{g\}$
百度：$f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega )$，$f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega )$：$F[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )$
频域卷积定理：
WIKI：$F\{f\cdot g\}=F\{f\}\ast F\{f\}$ 或者$f\ast g=F^{-1}\{F\{f\}\cdot F\{g\}\}$
百度：$f_1(t)\leftrightarrow F_1(\omega )$，$f_2(t)\leftrightarrow F_2(\omega )$：$F[f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega )$

总体上很相似但是在频域卷积定理上百度百科多除了一个$2\pi$，原因未知。接下来使用matlab验证卷积定理，当前网上都是矩阵验证且使用了IFFT，并不能实实在在的观察到卷积定理，而且在真正项目编码实现的时候既然使用到卷积定理，那大部分是不想用IFFT了。
时域卷积定理：

x1=[1 2 3 4 5];
x2=[2 3 4 5 6];

yx1=fft(x1);
yx2=fft(x2);
xx=cconv(x1, x2, 5); 
fftxx=fftshift(fft(xx));
test=fftshift(yx1).* fftshift(yx2);

频域卷积定理：

x1=[1 2 3 4 5];
x2=[2 3 4 5 6];
yx1=fft(x1);
yx2=fft(x2);
xx=x1.*x2;
fftxx=fftshift(fft(xx));
fftxx=fftxx*5;
test = ifftshift( cconv( fftshift(yx1), fftshift(yx2),5 ) );

以上：

• 频域卷积定理验证时的结果形式和WIKI上的是一致的，百度百科上的可能需要该函数或者其他的一些操作。
• 在网上很多验证失败的根本原因是函数使用不正确，要想得到验证，每一个变量fft后都需要做一次fftshift，因为fft后频率是[0,fs/2] +[-fs/2,0]的形式，而shift后则变成[-fs/2,fs/2]。其次，卷积不可直接使用conv或者conv2等线性卷积（即我们经常使用的一种卷积方式，详见matlab的conv文档），直接使用的是cconv圆周卷积，原因是：fft本身是一个无限操作，圆周卷积也可以变成一种无限操作。
• 在频域卷积定理中，卷积之后需要乘以x1或者x2的长度（或者圆周卷积后除以x2长度，好像是圆周卷积做了x2长度个周期），x1和x2的长度肯定是相同的，因为两个之间的操作是点乘。
• 线性卷积和循环卷积可以互换。