[JZOJ5232] 【NOIP2017模拟A组模拟8.5】带权排序

题目

题目大意

有一个数列$A$，数列上的每个数都是在[li,ri][l_i,r_i][li​,ri​]范围内随机的数。
将这个数列进行稳定排序，得到每个位置在排序后的排名pip_ipi​。
f(A)=∑sipif(A)=\sum s_ip_if(A)=∑si​pi​，求$E(f(A))$。

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思考历程

这种恶心的概率题根本就不知道该怎么思考好吗！
于是打了个暴力，就是枚举所有的情况，然后直接计算。
可是最后不知道为什么爆0了……

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正解

E(f(A))=∑siE(pi)E(f(A))=\sum s_i E(p_i)E(f(A))=∑si​E(pi​)
所以我们只需要求出pip_ipi​的期望值就好了。
显然pi=∑j≤i∣aj≤ai∣+∑j>i∣aj<ai∣p_i=\sum_{j\leq i} |a_j \leq a_i|+\sum_{j>i} |a_j< a_i|pi​=∑j≤i​∣aj​≤ai​∣+∑j>i​∣aj​<ai​∣
左右两边是类似的，下面只考虑左边的情况。
设ai=xa_i=xai​=x。对于每个位置$j$，有三种情况：
1、当x<ljx<l_jx<lj​时，位置$j$作出的贡献为$0$。
2、当lj≤x≤rjl_j \leq x \leq r_jlj​≤x≤rj​时，位置$j$做出的贡献为x−li+1ri−li+1\frac{x-l_i+1}{r_i-l_i+1}ri​−li​+1x−li​+1​。
3、当x>rjx>r_jx>rj​时，位置$j$作出的贡献为$1$。
不解释……
可以将其转化成一个分段函数的图像来理解一下，前后两段都是与$x$轴平行的线，中间的那段是一段一次函数的图像。
将所有$j$的函数全部加起来，枚举$x$，就可以计算E(pi)E(p_i)E(pi​)。
接下来我们考虑的问题是如何将所有$j$的函数叠加起来，并且能够快速查询一段区间内的和。
在叠加之后，函数长得一定很奇怪……所以不能用数学方法。
考虑使用线段树，用线段树来维护这些东西。
现在有一个奇怪的操作，在线段树内的一段区间上加某段一次函数的图像。
换个说法就是给这段区间加上一个等差数列。
这个怎么维护呢？
我们发现最重要的一点就是标记，关键是如何维护标记。
合并标记的时候，两段一次函数的都在同一段区间内，仔细想想是可以合并的。
一次函数的普遍形式就是$y=kx+b$，合并起来之后就是y=(k1+k2)x+(b1+b2)y=(k_1+k_2)x+(b_1+b_2)y=(k1​+k2​)x+(b1​+b2​)。所以可以简单粗暴地相加。
这样维护标记的问题就解决了，整个区间的值都可以维护。
下一个问题就是如何快速地询问，直接维护和就好，在修改的时候加上等差数列的和（千万不要告诉我你不会等差数列求和）。
算法的核心就完成了。
所以我们维护一个这样的线段树，然后从左往右扫，将当前点的贡献（也就是那个分段函数）加入线段树当中，然后区间询问当前点取值范围这一区间内的和，计算E(pi)E(p_i)E(pi​)。
再从右往左扫，实际上是类似的。

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代码

我才不会告诉你我先打了博客再打代码……

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