考研二战日记-第18天——高数3.3泰勒公式

泰勒公式一直是高数的难点部分，需要耐心学习

泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值

简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。
1. 问题的提出 

多项式   是最简单的一类初等函数。关于多项式，由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。

2. 近似计算举例

初等数学已经了解到一些函数如： 的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们，以 f(x) =  的近似计算为例：

①. 一次（线性）逼近                                                                             

利用微分近似计算公式 f(x)  f() + ()(x - ) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到)，对  = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为： f(x)  f(0) + (0) x , 所以 f(x) =   1，所以 f(x) 在  = 0 附近的线性逼近函数 (x) = 1，如下图：

线性逼近优点：形式简单，计算方便；缺点：离原点O越远，近似度越差。  

②. 二次逼近