吃货 JYY

$$吃货\mathrm{J}\mathrm{Y}\mathrm{Y}$$

题目链接：$\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{P}6085$

题目背景

作为 JSOI 的著名吃货， JYY 的理想之一就是吃遍全世界的美食。要走遍全世界当然需要不断的坐飞机了。而不同的航班上所提供的餐食是很不一样的：比如中国的航班会提供中餐，英国的航班有奶茶和蛋糕，澳大利亚的航班有海鲜，新加坡的航班会有冰激凌……

JYY 选出了一些他特别希望品尝餐食的航班，希望制定一个花费最少的旅游计划，能够从南京出发，乘坐所有这些航班并最后回到南京。

题目

世界上一共有 $N$ 个 JYY 愿意去的城市，分别从 $1$ 编号到 $N$ 。 JYY 选出了 $K$ 个他一定要乘坐的航班。除此之外，还有 $M$ 个 JYY 没有特别的偏好，可以乘坐也可以不乘坐的航班。

一个航班我们用一个三元组 $(x,y,z)$ 来表示，意义是这趟航班连接城市 $x$ 和 $y$ ，并且机票费用是 $z$ 。每个航班都是往返的，所以 JYY 花费 $z$ 的钱，既可以选择从 $x$ 飞往 $y$ ，也可以选择从 $y$ 飞往 $x$ 。

南京的编号是 $1$ ，现在 JYY 打算从南京出发，乘坐所有 $K$ 个航班，并且最后回到南京，请你帮他求出最小的花费。

输入

输入数据的第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ 。

接下来 $K$ 行，每行三个整数 $x,y,z$ 描述必须乘坐的航班的信息，数据保证在这 $K$ 个航班中，不会有两个不同的航班在同一对城市之间执飞。

第 $K+2$ 行包含一个整数 $M$ ，接下来 $M$ 行，每行三个整数 $x,y,z$ 描述可以乘坐也可以不乘坐的航班信息。

输出

输出一行一个整数，表示最少的花费。数据保证一定存在满足 JYY 要求的旅行方案。

样例输入

6 3
1 2 1000
2 3 1000
4 5 500
2
1 4 300
3 5 300

样例输出

3100

样例解释

一个可行的最佳方案为 $1\to 2\to 3\to 5\to 4\to 1$ 。

机票所需的费用为 $1000+1000+300+500+300=3100$ 。

数据范围

对于 $100\%$ 的数据， $2\le N\le 13,0\le K\le 78,2\le M\le 200,1\le x,y\le N,1\le z\le 10^4$ 。

思路

这道题是一道状压 dp 。

我们弄一个联通图，那要弄出欧拉回路，就是要让每个点的度数是偶数。
那我们就设 $f[i]$ 为 $i$ 在三进制下每一个点度数的状态：

1. 没有连通（度数为 $0$ ）则状态为 $0$
2. 度数是奇数，状态是 $1$
3. 度数是偶数，状态是 $2$

那怎么求呢？
我们可以再设一个 $g[i]$ 为 $i$ 在二进制下为一的每一位对应的点的度数为奇数且成为了连通块。
至于转移这个，就每次多放进去连通的两个点。

接着看怎么转移 $f[i]$ 这个玩意。
我们就看已经连通的点，然后枚举两个点，保证一个是已经连通的，然后就连通来转移。

至于两点距离，就 Floyed 求。

求答案就枚举 $f$ 的每个 $i$ ，然后首先看有没有把所有必连的边连上，有一个没连就不可以。
接着就把度数是单数的连起来（可以用 $g[i]$ 解决），找到所需费用最小的那个。

代码

#include
#include
#include

using namespace std;

struct node {
	int x, to, nxt;
}e[201];
int n, k, x, y, z, le[15], KK, more, m, ans = 2147483647;
int num[15], dis[15][15], hav[15], to;
int g[10001], get3[15], f[2000001];
bool yes;

void add(int x, int y, int z) {
	e[++KK] = (node){z, y, le[x]}; le[x] = KK;
	e[++KK] = (node){z, x, le[y]}; le[y] = KK;
}

void Floyed() {
	for (int k = 0; k < n; k++)
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
				dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}

void getg() {
	for (int i = 0; i < (1 << n); i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			if (!(i & (1 << j)))
				for (int k = j + 1; k < n; k++)
					if (!(i & (1 << k)))
						g[i | (1 << j) | (1 << k)] = min(g[i | (1 << j) | (1 << k)], g[i] + dis[j][k]);
}

void getf() {
	for (int i = 2; i < get3[n]; i++)
		if (f[i] != 1e9) {
			hav[0] = 0;
			for (int j = 0; j < n; j++)
				if (i / get3[j] % 3)
					hav[++hav[0]] = j;
			for (int j = 0; j < n; j++)
				if (i / get3[j] % 3 == 0) {
					for (int k = le[j]; k; k = e[k].nxt)
						if (i / get3[e[k].to] % 3) {
							to = i + get3[j] * 2;
							f[to] = min(f[to], f[i]);
						}
					for (int k = 1; k <= hav[0]; k++) {
						to = i + get3[j];
						if (i / get3[hav[k]] % 3 == 1) to += get3[hav[k]];
							else if (i / get3[hav[k]] % 3 == 2) to -= get3[hav[k]];
						f[to] = min(f[to], f[i] + dis[j][hav[k]]);
					}
				}
		}
}

void getans() {
	for (int i = 0; i < get3[n]; i++) {
		yes = 0;
		for (int j = 0; j < n; j++)
			if (num[j] && !(i / get3[j] % 3)) {
				yes = 1;
				break;
			}
		if (!yes) {
			int now = i;
			for (int j = 0; j < n; j++)
				if (num[j] & 1) {
					if (now / get3[j] % 3 == 1) now += get3[j];
						else if (now / get3[j] % 3 == 2) now -= get3[j];
				}
			to = 0;
			for (int j = 0; j < n; j++)
				if (now / get3[j] % 3 == 1)
					to |= (1 << j);
			ans = min(ans, f[i] + g[to]);
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &k);//读入
	
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			if (i != j)
				dis[i][j] = 1e9;//初始化
	
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);//读入
		x--;
		y--;
		more += z;//算出一定只要少多少钱
		add(x, y, z);
		num[x]++;
		num[y]++;
		dis[x][y] = min(dis[x][y], z);
		dis[y][x] = min(dis[y][x], z);
	}
	
	scanf("%d", &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);//读入
		x--;
		y--;
		dis[x][y] = min(dis[x][y], z);
		dis[y][x] = min(dis[y][x], z);
	}
	
	Floyed();//求出最短路
	
	for (int i = 0; i < (1 << n); i++) g[i] = 1e9;
	g[0] = 0;//初始化
	getg();//求出g
	
	get3[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		get3[i] = get3[i - 1] * 3;
	for (int i = 0; i < get3[n]; i++)
		f[i] = 1e9;
	f[2] = 0;//初始化
	getf();//求出f
	
	getans();//求出额外要多多少钱
	
	printf("%d", more + ans);//输出
	
	return 0;
}