问题：为什么 AVL 树只需要 LL，LR，RR，RL 四种旋转？
首先说明一下本文所使用的记号：
T(N)：以节点 N 为根的树
L(T)、R(T)：树T的左右子树
H(T)：树T的高度
DH(T)：左右子树高度之差，即 H(R(T)) - H(L(T))
|DH(T)|：左右子树高度之差的绝对值
需要旋转的两种情况
给定一棵树 T(1)（当然，它可能也是其它树的子树，不过这不影响讨论），根据 AVL 对「平衡」的定义（|DH(T)| < 2），只有当树 T(1) 处于如下两种情况时，才需要旋转（注意：|DH(T(1))| 不可能 > 2）：
1. DH(T(1)) == -2
1
/ \
2(n+2) 3(n)
2. DH(T(1)) == 2
1
/ \
2(n) 3(n+2)再说明一下标记，上面 1、2、3 这些数字，表示树的节点；3(n+2) 表示以节点 3 为根的子树高度为n+2。
现在，以 DH(T(1)) == -2 为例，就【插入】和【删除】两种操作分别加以讨论。而 DH(T(1)) == 2 的情况与此类似，不再赘述。
插入
插入之前的 T(1)
如果 DH(T(1)) == -2 是由【插入】引起的，则插入之前的 T(1) 应为：
DH(T(1)) == -1
1
/ \
2(n+1) 3(n)
展开为：
1
/ \
2(n+1) 3(n)
/ \
4(?) 5(?)T(4)，T(5) 的高度可取值如下：
H(T(4)) H(T(5))
a. n n
b. n n-1
c. n-1 n但 b, c 其实都不可能。比如 b，要使 DH(T(1)) == -2，只能插入节点到 T(4)，而一旦这样插入了，又会使 DH(T(2)) == -2 了。所以插入之前的 T(1) 应为：
1
/ \
2(n+1) 3(n)
/ \
4(n) 5(n)插入节点到 T(4) 的情况
如下图。旋转也一并给出，记这种旋转为 rotate1（其实就是 LL）。
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n+1) 5(n)
rotate1:
2
/ \
/ 1
/ / \
4(n+1) 5(n) 3(n)插入节点到 T(5) 的情况
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5(n+1)如何旋转以达到平衡，并不明显。必须将节点 5 进一步展开来看：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5(n+1)
/ \
6(?) 7(?)T(6)，T(7) 的高度可取值如下：
H(T(6)) H(T(7))
a. n n
b. n n-1
c. n-1 n但 a 不可能。否则，在新节点插入之前，H(T(5))就已经为 n+1，而 T(1) 就已经不平衡了。
b, c 都有可能。如果是 b，新节点插入到 T(6)；如果是 c，新节点插入到 T(7)。所以插入节点到T(5) 的情形最终应该是：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5(n+1)
/ \
6(n/n-1) 7(n-1/n)
rotate2:
5
/ \
2 1
/ \ / \
4(n) 6 7 3(n)rotate2 其实就是 LR。
关于【插入】的小结
总结一下，对于【插入】，有如下 2种旋转：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n+1) 5(n)
rotate1:
2
/ \
/ 1
/ / \
4(n+1) 5(n) 3(n) 1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5
/ \
6(n/n-1) 7(n-1/n)
rotate2:
5
/ \
2 1
/ \ / \
4(n) 6 7 3(n)删除
删除之前的 T(1)
如果 DH(T(1)) == -2 是由【删除】引起的，则删除之前的 T(1) 应为：
DH(T(1)) == -1
1
/ \
2(n+2) 3(n+1)
展开为：
1
/ \
2 3(n+1)
/ \
4(?) 5(?)T(4)，T(5) 的高度可取值如下：
H(T(4)) H(T(5))
a. n+1 n+1 - DH(T(2)) : 0
b. n+1 n - DH(T(2)) : -1
c. n n+1 - DH(T(2)) : 1这三种都有可能，所以删除之前的 T(1) 为：
A.
1
/ \
2 3(n+1)
/ \
4(n+1) 5(n+1/n)
B.
1
/ \
2 3(n+1)
/ \
4(n) 5(n+1)对于 T(1) A 的旋转
对于 T(1) A，从子树 T(3) 删除节点而使 H(T(3)) 减 1 后，得到需要旋转的树如下：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n+1) 5(n+1/n)
rotate1:
2
/ \
/ 1
/ / \
4(n+1) 5(n+1/n) 3(n)旋转也一并给出。同样还是 rotate1。
对于 T(1) B 的旋转
对于 T(1) B，从子树 T(3) 删除节点而使 H(T(3)) 减 1 后，得到需要旋转的树如下：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5(n+1)如何旋转以达到平衡，并不明显。须将节点 5 进一步展开来看：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5
/ \
6(?) 7(?)T(6)，T(7) 的高度可取值如下：
H(T(6)) H(T(7))
n n
n n-1
n-1 n这三种都有可能。所以 T(1) B 的情形最终为：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5
/ \
6(n/n/n-1) 7(n/n-1/n)
rotate2：
5
/ \
2 1
/ \ / \
4(n) 6 7 3(n)旋转还是 rotate2。
关于【删除】的小结
总结一下，对于【删除】，有如下 2 种旋转：
1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n+1) 5(n+1/n)
rotate1:
2
/ \
/ 1
/ / \
4(n+1) 5(n+1/n) 3(n) 1
/ \
2 3(n)
/ \
4(n) 5
/ \
6(n/n/n-1) 7(n/n-1/n)
rotate2：
5
/ \
2 1
/ \ / \
4(n) 6 7 3(n)结论
对于 DH(T(1)) == -2，共有 2 种旋转，如上 rotate1 和 rotate2。虽然对于【插入】和【删除】，旋转时平衡点的调整更新可能会有所不同，但其旋转的方式是一致的。
最后，rotate1 即所谓的 LL，rotate2 即所谓的 LR。如果再去分析 DH(T(1)) == 2 的话，同理可以得到 RR 和 RL。