【机器人】欧拉角，四元数，我的个人理解

1.前言

熬过了毕业设计，难逃提前到导师实验室打工噩运。导师最近又让我去了解一下四旋翼，以后可能会搞四旋翼挂个机械臂的东西……四旋翼建模看的朦朦胧胧的，突然被以前做机械臂时忽略了的刚体旋转给绕昏了，今天似乎懂了一些欧拉角和四元数的东西，特此记录一下，注意，本文仅为我自己的理解，可能会有错误，仅供参考，欢迎留言讨论。

2.欧拉角

欧拉角的定义网上有很多文章，无非就是分别绕一个三维坐标（多数是固定在刚体上的坐标系）各轴依次旋转，顺序各种排列组合，比如XYZ、ZYZ、ZYX等，这都不是什么重点，重点是，在进过了依次旋转后，会得到一个相对于惯性系的旋转矩阵，通过该旋转矩阵可以反求出欧拉角。本文采用XYZ顺序进行讲解，顺序都不是关键。

欧拉角虽然简单，但是存在一个奇异现象：当旋转顺序中的第二个旋转轴的旋转角度=90°，或者90°的倍数时，会产生奇异现象，此时旋转矩阵将会出现一个始终为常数的列，比如XYZ顺序下，当Y角度=90°时，旋转矩阵为

可见，旋转后的Z轴将与惯性系的X轴重合，且无论本次XYZ旋转过程中，X和Z轴的旋转角度为多少，最终Z轴都将与惯性系的X轴重合，失去了一个自由度。同时，这也将导致在根据旋转矩阵求欧拉角时，出现多解情况。

只要是在欧拉角旋转过程中的第二次旋转角度为90°就会发生奇异现象，比如ZXY旋转时，当X角度为90°时，旋转矩阵为

同样会出现一个为常数的列，使得自由度减少一个。

当然，上面的讨论都是针对同一次欧拉角变换时进行的，如果你完成了一次欧拉角变换，那么再进行一次欧拉角变换则会改变那个为常数的列。

2020-08-04修改：

阅读了《机器人学中的状态估计》，对欧拉角奇异有了更多的理解。当发生奇异现象时，旋转矩阵可以化简为：

此时，改变θ1和θ3，只要和值不变，都会取得同样的旋转矩阵，这使得原本应该有两个⾃由度的旋转变成了⼀个⾃由度，从⽽⽆法确定这两个⾓度各⾃的值。也就是说，欧拉角奇异现象只在由旋转矩阵反求欧拉角时，会有影响，会有无数解。反之不存在奇异问题。

3.四元数

四元数表示的是一个四维空间超球在三维空间的投影，具体概念过于复杂抽象，我只需要知道怎么应用即可。如何得到四元数就不再赘述了，简单说一下四元数在进行向量变换时的几何意义吧。四元数进行旋转变换的公式为

式中，p为原向量，p'为旋转变换后的向量，它们都用纯四元数进行表示，即标量部分=0；q为表示本次旋转的四元数，其值与绕轴旋转时的角度值ω的一半有关。可以理解为首先将p经过q变换到四维空间中的一个临时点w，此时移动了ω/2，然后再将w经过q的逆变换到三维空间中的p'，此时又移动了ω/2。四元数进行旋转变换插值时，直接对各个元素进行线性插值即可，使四元数在一个四维超球面上沿着一个大圆路径运动，在三维空间中就是绕轴旋转，四元数插值最终表现为绕轴旋转。

最后，放一个在同样的起始和终止姿态下，使用欧拉角插值和四元数插值，可以发现，欧拉角因为存在奇异点，导致有多解，且解有点奇怪，所以运动很不协调；而四元数插值是绕轴旋转，所以效率较高，且插值计算也不复杂，只需求出初始和终止点的单位四元数即可。