离散傅里叶变换及其快速算法 （转载）

 

离散傅里叶变换及其快速算法

2007-08-20 20:14

1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 时域抽样：   目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。     处理后信号的连续时间傅里叶变换： 是离散函数，仅在离散频率点 处存在冲激，强度为 ，其余各点为0。 是周期函数，周期为 ，每个周期内有 个不同的幅值。 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT及IDFT的定义 DFT定义：设 是连续函数 的 个抽样值 ，这N个点的宽度为N的DFT为： IDFT定义：设 是连续频率函数 的 个抽样值 ， 这N个点的宽度为N的IDFT为： 称为N点DFT的变换核函数， 称为N点IDFT的变换核函数。它们互为共轭。 同样的信号，宽度不同的DFT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。 引入 用途： 正逆变换的核函数分别可以表示为 和 。   核函数的正交性可以表示为： DFT可以表示为： IDFT可以表示为： 性质：周期性和对称性：       3 离散谱的性质 离散谱定义：称 为离散序列 的DFT离散谱，简称离散谱。 性质： 周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的序列。 共扼对称性：如果 为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有共轭对称性。即 ； ； 幅度对称性：如果 为实序列，则其N点的DFT关于原点和N/2都具有幅度对称性。即 ； ； 改写： 简记 为 简记 为 DFT对简记为： 或 4 DFT总结 DFT的定义是针对任意的离散序列 中的有限个离散抽样 的，它并不要求该序列具有周期性。 由DFT求出的离散谱 是离散的周期函数，周期为 、离散间隔为 。离散谱关于变元k的周期为N。 如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号， ，则重建信号是离散的周期函数，周期为 (对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为 (对应离散谱周期的倒数)。 经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为 。 实序列的离散谱关于原点和 (如果N是偶数)是共轭对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~ 范围获得，从低频到高频。 在时域和频域 范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期。   5 DFT性质 线性性：对任意常数 ( )，有 奇偶虚实性： DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。 DFT有如下的奇偶虚实特性： 奇 奇；偶 偶；实偶 实偶；实奇 虚奇； 实 (实偶) + j(实奇)；实 (实偶)·EXP(实奇)。 反褶和共轭性： 时域 频域 反褶 反褶 共轭 共轭＋反褶 共轭＋反褶 共轭 对偶性： 把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍； 如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。 时移性： 。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。 频移性： 时域离散圆卷积定理： 圆卷积：周期均为N的序列 与 之间的圆卷积为 仍是n的序列，周期为N。 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。 频域离散圆卷积定理： 时域离散圆相关定理： 周期为N的序列 和 的圆相关： 是n的序列，周期为N。 。其中 表示按k进行DFT运算。 帕斯瓦尔定理： 6 快速傅里叶变换FFT (1) FFT不是一种新的变换，而是DFT的快速算法。 (2) 直接DFT计算的复杂度： 计算DFT需要： 次复数乘法； 次复数加法。 (3) FFT算法推导： (i) 第L次迭代中对偶结点值的计算公式为： ， 是循环控制变量。 整序：经过r次迭代后，得到结果 ，实际结果应是 ，所以流程的最后一步是按下标的正常二进制顺序对结果进行整序。 (4) FFT算法特点：( ) (i) 共需 次迭代； (ii) 第 次迭代对偶结点的偶距为 ，因此一组结点覆盖的序号个数是 。 (iii) 第 次迭代结点的组数为 。 (iv) 可以预先计算好，而且 的变化范围是 。 (5) FFT算法流程：( ) (i) 初始化： ； (ii) 第 次迭代： (a) 下标控制变量初始化 ； (b) “结点对”的个数初始化 ; (c) Ø 按对偶结点对的计算公式进行置位运算，得到 和 的值； Ø ； ； Ø 跳过已经计算过的结点(即上面 所对应的那些结点)： ； Ø 如果 ，转到b)继续计算下一组结点；否则结束本次迭代。 (iii) 当 次迭代全部完成后，对结果 按下标二进制位进行整序，从而得到结果