离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

离散傅立叶变换概述

傅立叶分析以法国数学家和物理学家JeanBaptiste JosephFourier命名,是一种将信号分解为谐波的方法。如下三图所示,一个包含16个点的离散信号可以用9个余弦和9个正弦波来表示。在表达任意一个离散信号时,这些三角波的周期是一定的,不同的只是振幅(amplitude)



1-1 离散信号与对应的三角波


信号可以是连续的或离散的,同时也可以是周期性的或非周期性的,根据信号的这两个特点,傅立叶变换可以分为四种类型:

傅立叶变换FourierTransform,处理非周期性的连续信号(Aperiodic-Continuous)。

傅立叶序列(FourierSeries),处理周期性的连续信号(Periodic-Continuous)。

离散时间域傅立叶变换(DiscreteTime Fourier Transform),处理非周期性的离散信号(Aperiodic-Discrete)。

离散傅立叶变换(DiscreteFourier Transform),处理周期性的离散信号(Periodic-Discrete)

计算机只能处理离散的和有限长度的信号,因此只有离散傅立叶变换(DFT)能在计算机中以算法实现。


1-2 四种不同类型的傅立叶分析

实数离散傅立叶变换(RealDFT)的格式和表示

如图1-3所示,离散傅立叶变换将包含N个点的输入波转为两个包含N/2+1个点的输出波。输入波常被称作时间域,因为信号的波形基本上都是随时间变化,输出波常被称作频率域

时间域与频率域中存储的信息是一样的,只是表现方式不一样。将时间域转为频率域的过程叫离散傅立叶变换(DFT),将频率域转换为时间域的过程叫反变换(IDFT)。频率域可以分为两部分,实数部分ReX[ ]和虚数部分Im X[],分别存放余弦函数(Cosine)的振幅和正弦函数(Sine)的振幅。


1-3 实数傅立叶变换示意图

DFT基函数

DFT中使用的正弦和余弦函数统称为基函数(BasisFunction),这些三角函数的周期是固定的,变化的只是振幅。DFT基函数的表达式:

Ck[i]= cos(2ki/N)

Sk[i]= sin(2ki/N)

公式1-1

其中,Ck[i]Sk[i]表示由N个点组成的离散正弦曲线,i的取值范围是张倒N-1k决定了曲线的周期,取值范围是0N/2

多余的系数

完成DFT后,系数由原来的N个变为N+2个,似乎产生了两个多余的系数。在频率域中,的确有两个系数是多余的,它们是ImX[0]ImX[n/2]。它们的存在使得频率域中的其他系数相互独立,并且它们的值永远为0,因此不会影响反变换。

反变换的计算(IDFT)


公式1-2

在上面的公式中,振幅使用的是,而不是ImX[k]ReX[k]。两者的关系可以用下面的公式来表示:


公式1-3

反变换的算法实现

下面是反变换算法的伪代码实现:


100'THE INVERSE DISCRETE FOURIER TRANSFORM

110'The time domain signal, held in XX[ ], is calculated from thefrequency domain signals,

120'held in REX[ ] and IMX[ ].

130'

140DIM XX[511] 'XX[ ] holds the time domain signal

150DIM REX[256] 'REX[ ] holds the real part of the frequency domain

160DIM IMX[256] 'IMX[ ] holds the imaginary part of the frequencydomain

170'

180PI = 3.14159265 'Set the constant, PI

190N% = 512 'N% is the number of points in XX[ ]

200'

210GOSUB XXXX 'Mythical subroutine to load data into REX[ ] andIMX[ ]

220'

230

240''Findthe cosine and sine wave amplitudes using Eq. 1-3

250FOR K% = 0 TO 256

260REX[K%] = REX[K%] / (N%/2)

270IMX[K%] = -IMX[K%] / (N%/2)

280NEXT K%

290'

300REX[0] = REX[0] / 2

310REX[256] = REX[256] / 2

320'

330'

340FOR I% = 0 TO 511'ZeroXX[ ] so it can be used as an accumulator

350XX[I%] = 0

360NEXT I%

370'

380'Eq. 1-2 SYNTHESIS METHOD #1. Loop through each

390'frequency generating the entire length of the sine and cosine

400'waves, and add them to the accumulator signal, XX[ ]

410'

420FOR K% = 0 TO 256 'K% loops through each sample in REX[ ] andIMX[ ]

430FOR I% = 0 TO 511 'I% loops through each sample in XX[ ]

440'

450XX[I%] = XX[I%] + REX[K%] * COS(2*PI*K%*I%/N%)

460XX[I%] = XX[I%] + IMX[K%] * SIN(2*PI*K%*I%/N%)

470'

480NEXT I%

490NEXT K%

500'

510END


1-4 IDCT示意图

1-4解释了IDCT的过程以及频率域与反变换时振幅的不同。图1-4a中是我们需要进行转换的时间域曲线,在0点坐标处振幅为32的一条曲线;图1-4b是进行DFT变换后的曲线,实数部分(ReX)的值为32,虚数部分的值全部为0,因此这里没有画虚数部分的曲线;公式1-3将频率域信号(图1-4b所示)转换为余弦函数的振幅(图1-4c所示)。虚数部分(用正弦函数表示)的系数全部为0,因此这里没有显示。

频率域与三角函数振幅之所以不同,是因为频率域被定义为谱密度(spectraldensity

1-4显示的是一个由32个点组成的信号在频率域中的实数部分,由编号从01617个采样点组成。谱密度是指单位带宽所能表达的信号量(振幅),其计算方法是使用三角函数的振幅除以相应的带宽(bandwidth)。

1-4中的虚线解释了带宽的计算,即在采样点之间进行平均分割。采样点016的带宽为1/N,其他采样点(1-15)的带宽为2/N。这就是公式1-3ReX[0]ReX[N/2]与其他ReX不同的原因。


1-5频率域的带宽(bandwidth)

DFT的分析与计算

DFT的计算有三种方法:第一种是解线性方程祖,这种方法简单但计算量很大,实际应用中很少使用;第二种是关联法(correlation),基于已知的另一条的曲线;第三中方法是快速傅立叶变换(FFT),FFT算法将对一条含N个点曲线的计算转为对N条含1个点的曲线的计算,从而大大降低了计算量。

线性方程组求解DFT

使用这种方法来计算DFT是很自然的,从N个方程求解N个未知数。但这种方法计算量很大,实际应用中很少使用。

关联法(correlation)求解DFT

通过correlation求解DFT是求解DFT的标准方法,下面使用一个例子来说明这种方法。求解一个包含64个点的信号的DFT,意味着我们要计算频率域中实数部分的33个系数和虚数部分的33个系数。在这个例子中,我们只解一个系数,ImX[3]

ImX[3]是一条包含三个完整周期的正弦函数的振幅,这个正弦函数曲线分布在点0到点63之间,如图1-6a所示。

在图1-6中,ab是两个时间域的示例信号,在这里分别称之为x1[]x2[]。曲线x1[]是一个包含3个完整周期、分布在063之间的正弦函数曲线;x2[]由多条正弦函数曲线和余弦函数曲线混合而成,在组成x2[]的三角函数曲线中,没有任何一条在063之间有完整的三个周期。

通过这两条曲线可以解释算法要实现的功能:当输入函数为x1[]时,算法的计算结果应该是32,也就是信号中正弦曲线的振幅;而当输入函数为x2[]时,算法的计算结果应该为0,因为x2[]所表示的曲线并不在这个信号中。

之所以非x1[]的曲线与x1[]相乘结果为0,是因为除x1[]外的任意一个函数与正弦函数相乘时,在0633个完整周期)上的积分都为0。在图1-6中,图e是图a和图c相乘的结果,将各个点的值相加即可得到32;图f是图b和图d相乘的结果,将各个点的值相加得到的结果为0

上面的计算过程可以用公式1-4来表示。


公式1-4


1-6关联法(correlation)求DFT

下面是关联法计算DFT的算法伪代码:

100'THE DISCRETE FOURIER TRANSFORM

110'The frequency domain signals, held in REX[ ] and IMX[ ], arecalculatedfrom

120'the time domain signal, held in XX[ ].

130'

140DIM XX[511] 'XX[ ] holds the time domain signal

150DIM REX[256] 'REX[ ] holds the real part of the frequency domain

160DIM IMX[256] 'IMX[ ] holds the imaginary part of the frequencydomain

170'

180PI = 3.14159265 'Set the constant, PI

190N% = 512 'N% is the number of points in XX[ ]

200'

210GOSUB XXXX 'Mythical subroutine to load data into XX[ ]

220'

230'

240FOR K% = 0 TO 256 'Zero REX[ ] & IMX[ ] so they can be used asaccumulators

250REX[K%] = 0

260IMX[K%] = 0

270NEXT K%

280'

290' 'Correlate XX[ ] with the cosine and sine waves, Eq. 8-4

300'

310FOR K% = 0 TO 256 'K% loops through each sample in REX[ ] andIMX[]

320FOR I% = 0 TO 511 'I% loops through each sample in XX[ ]

330'

340REX[K%] = REX[K%] + XX[I%] * COS(2*PI*K%*I%/N%)

350IMX[K%] = IMX[K%] - XX[I%] * SIN(2*PI*K%*I%/N%)

360'

370NEXT I%

380NEXT K%

390'

400END

二元性(Duality

DFTIDFT变换公式很类似。从一个域到另一个域,都是用已有的值乘以基函数,然后将相应的值相加。实际上,DFTIDFT的区别仅仅是时间域中包含N个点,而频率域中包含N/2+1个点。在复数傅里叶变换中,时间域和频率域中的信号都包含N个点,这使得两个域具有一种对称的性质,而在两个域之间的转换公式也就几乎一样了。

时间域和频率域的这种对称被称之为对称性(Duality),二元性可以产生很多有趣的性质。例如:在频率域中的一个单点对应于时间域中的一条三角函数曲线,由于Duality,这种性质反过来也成立,在时间域中的一个点对应于频率域中的一条三角函数曲线。

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