[EE261学习笔记] 1.傅里叶级数推导过程

傅里叶变换基于一个假设：所有周期函数都表示为多个三角函数的的和
因此，我们可以得到以下式子（方便起见，我们将周期定为 $1$，下同）

$$\sum _{k=1}^N{A}_k\sin \left(2\pi kt+{\phi }_k\right)$$

利用和差角公式，得到

$$\sum _{k=1}^N\left(A_k\sin \left(2\pi kt\right)\cos {\phi }_k+A_k\cos \left(2\pi kt\right)\sin {\phi }_k\right)$$

注意到式子已经化为正弦和余弦的组合函数了，我们将系数进行代换，再加上一个常数项，即可得到傅里叶级数公式：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^N\left(a_k\cos 2\pi kt+b_k\sin 2\pi kt\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\frac{a_0}{2}$ 在电路中被称为直流分量（就是一条直线，常数），常数项取 $\frac{a_0}{2}$ 只是为了实际计算方便

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由欧拉公式，我们有

$$e^{2\pi ikt}=\cos 2\pi kt+i\sin 2\pi kt$$

其变形为

$$\cos 2\pi kt=\frac{e^{2\pi ikt}+e^{-2\pi ikt}}{2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\sin 2\pi kt=\frac{e^{2\pi ikt}-e^{-2\pi ikt}}{2i}\text{\hspace{1em}(3)}$$

由这两式，我们可以将傅里叶级数写成其复数形式：

$$f(t)=\sum _{k=-N}^N{C}_k{e}^{2\pi ikt}\text{\hspace{1em}(4)}$$

注意到

1. 求和项下限由原本的 $k=1$ 变成了 $k=-N$
2. 同时需要注意系数 $C_k$ 满足 $C_{-k}=\overline{C_k}$，即第 $k$ 项系数是第 $-k$ 项系数的共轭

需要注意，在傅里叶级数中的第 $k$ 项，等价于其复数形式下的 $-k$ 项与 $k$ 项之和，为了证明这一点，我们不妨设 $C_k=\alpha +\beta i$，当上述条件2满足时（即满足 $C_{-k}=\alpha -\beta i$），$(4)$ 式中的所有的虚数项都可以被抵消：
在 $(4)$ 式的求和项中，第 $k$ 加上第 $-k$ 的结果为：

$$\left(\alpha e^{2\pi ikt}+\beta e^{2\pi ikt}\right)+\left(\alpha e^{2\pi i\left(-k\right)t}-\beta e^{2\pi i\left(-k\right)t}\right)$$

利用欧拉公式的变形公式 $(2)$、$(3)$，容易得到上式等于：

$$2\alpha \cos 2\pi kt+2\beta \sin 2\pi kt$$

即所有的虚数项全部都抵消掉了，这个结果显然与 $(1)$ 式的非常数项部分是等价的，同时，$(4)$ 式中的 $k=0$ 项即对应傅里叶级数的常数项。故 $(4)$ 式为 $(1)$ 式在复平面上的等价公式

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下面我们来求系数 $c_k$
假设 $m\in [-N,N]$，则 $(4)$ 式可以改写为

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\cdots +C_m{e}^{2\pi imt}+\cdots \\ & =C_m{e}^{2\pi imt}+\sum _{k\ne m}{C}_k{e}^{2\pi ikt}\end{array}$$

即写成第 $m$ 项与除 $m$ 项以外项的和的形式。我们令等式两边同乘 $e^{-2\pi imt}$，并移项，得到：

$$C_m=f(t)e^{-2\pi imt}-\sum _{k\ne m}{C}_k{e}^{2\pi i(k-m)t}$$

我们对等式两边求积分

$${\int }_0^1{C}_{m}dt={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi imt}dt-\sum _{k\ne m}{C}_k{\int }_0^1{e}^{2\pi i(k-m)t}dt\text{\hspace{1em}(5)}$$

易知等式左边即为 $c_m$；
而对于等式右边的两个积分，我们先看第二项，即求和公式中的积分项：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{e}^{2\pi i(k-m)t}dt& ={\frac{1}{2\pi i(k-m)}{e}^{2\pi i(k-m)t}|}_0^1\\ & =\frac{1}{2\pi i(k-m)}(e^{2\pi i(k-m)}-1)\end{array}$$

根据欧拉公式，我们有

$$e^{2\pi i(k-m)}=\cos 2\pi (k-m)+i\sin 2\pi (k-m)$$

由于 $k\ne m$ 且为 $k$，$m$ 均为整数，故上式恒等于 $1$，于是，我们可以得到：

$${\int }_0^1{e}^{2\pi i(k-m)t}dt=0$$

$(5)$ 式可以写为：

$$C_m={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi imt}dt$$

因此对于 $(4)$ 式中的任意 $k$，我们有

$$C_k={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi ikt}dt\text{\hspace{1em}(6)}$$

由 $(4)$ 式和 $(6)$ 式，我们将 $C_k$ 用 $\hat{f}(k)$ 代换，可以得到傅里叶级数公式及其系数公式：

$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}\text{\hspace{1em}(7)}$$

$$\hat{f}(k)={\int }_0^{1}f(t)e^{-2\pi ikt}dt\text{\hspace{1em}(8)}$$

由于在实际应用中，信号往往是不连续的，如方波，或者是连续单不是处处可微的，如三角波，这些波形下我们无法用有限的 $k$ 来还原原信号。换句话说，任何平滑成分的缺失都会产生无穷项的和，即 $(7)$ 式中 $k$ 的范围变为从 $-\infty$ 到 $\infty$