个人学习笔记（十三）条件随机场

       条件随机场(conditional random field, CRF)是给定一组输入随机变量条件下，另一组输出随机变量的条件概率分布模型，这里仅讨论它在标注问题的应用，因此主要讲述线性链(linear chain)条件随机场。

一、概率无向图模型

       在介绍条件随机场之前，需要了解概率无向图模型。概率无向图模型(probabilistic undirected graphical model)，又称为马尔科夫随机场(Markov random field)，它由结点(node)及连接结点的边(edge)组成，表示一个联合概率分布。
       概率无向图需要满足以下三种条件：成对马尔科夫性(pairwise Markov property)、局部马尔科夫性(local Markov property)和全局马尔科夫性(global Markov property)。
       成对马尔科夫性：设$u$和$v$是无向图$G$中任意两个不直接相连的结点，其他所有结点为$O$，它们对应的随机变量或随机变量组为$Y_u,Y_v,Y_O$，成对马尔科夫性是指给定$Y_O$的条件下，$Y_u$与$Y_v$是条件独立的，即
$$P(Y_u,Y_v|Y_O)=P(Y_u|Y_O)P(Y_v|Y_O)$$       局部马尔科夫性：设$v$是无向图$G$中任意一个节点，$W$是所有与$v$直接相连的结点，其他所有结点为$O$，局部马尔科夫性是指给定$Y_W$的条件下，$Y_v$与$Y_O$是条件独立的，即
$$P(Y_v,Y_O|Y_W)=P(Y_v|Y_W)P(Y_O|Y_W)$$       全局马尔科夫性：设结点集合$A,B$是在无向图$G$中被结点集合$C$分开的任意结点集合，全局马尔科夫性是指在给定$Y_C$的条件下，$Y_A$与$Y_B$是条件独立的，即
$$P(Y_A,Y_B|Y_C)=P(Y_A|Y_C)P(Y_B|Y_C)$$       如果联合概率分布$P(Y)$满足成对、局部、全局马尔科夫性，就称此联合概率分布为概率无向图模型，或马尔科夫随机场。
       接着，为了引出概率无向图的Hammersley-Clifford定理，先介绍团与最大团的概念。无向图$G$中任何两个结点均有边连接的结点子集称为团(clique)，若不能再加进任何一个结点使其成为一个更大的团，则称此团为最大团(maximal clique)。
       概率无向图模型的因子分解(factorization)，可以将联合概率分布$P(Y)$写作图中所有最大团$C$上的函数${\psi }_C(Y_C)$的乘积形式，即
$$P(Y)=\frac{1}{Z}\prod _C{\psi }_C(Y_C)$$       其中，$Z$是规范化因子，有
$$Z=\sum _Y\prod _C{\psi }_C(Y_C)$$       这便是概率无向图的Hammersley-Clifford定理，函数${\psi }_C(Y_C)$称为势函数(potential function)，由于要求${\psi }_C(Y_C)$是严格正的，通常定义为指数函数
$${\psi }_C(Y_C)=e^{-E(Y_C)}$$

二、条件随机场的定义与形式

       首先定义条件随机场，设$X$与$Y$是随机变量，若随机变量$Y$构成一个马尔科夫随机场，即
$$P(Y_v|X,Y_w,w̸=v)=P(Y_v|X,Y_w,w\sim v)$$对任意结点$v$成立，则称条件概率分布$P(Y|X)$为条件随机场，式中$w\sim v$表示与$v$有边相连的所有结点$w$，$w̸=v$表示结点$v$以外的所有结点。
       当$X,Y$均为线性链表示的随机变量序列，如果$P(Y|X)$构成条件随机场，即满足马尔科夫性
$$P(Y_i|X,Y_1,\cdots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\cdots ,Y_n)=P(Y_i|X,Y_{i-1},Y_{i+1})$$       则称$P(Y|X)$为线性链条件随机场。
       注意，上面是“$Y$构成马尔科夫随机场”$\to$“$P(Y|X)$为条件随机场”$\to$“$P(Y|X)$是线性链条件随机场”。
       根据上一节的Hammersley-Clifford定理，概率无向图的联合概率分布可以分解为最大团上势函数的乘积，对应到线性链条件随机场$P(Y|X)$中，其最大团均为两个结点的集合，它有两种，一种是相邻的两个$y$，一种是对应的$x$与$y$。因此线性链条件随机场$P(Y|X)$在$X$取值为$x$的条件下，$Y$取值为$y$的条件概率可写为
$$P(y|x)=\frac{1}{Z(x)}{e}^{{\sum }_{i,k}{\lambda }_k{t}_k(y_{i-1},y_i,x,i)+{\sum }_{i,l}{\mu }_l{s}_l(y_i,x,i)}$$       其中$Z(x)$是规范化因子，即
$$Z(x)=\sum _y{e}^{{\sum }_{i,k}{\lambda }_k{t}_k(y_{i-1},y_i,x,i)+{\sum }_{i,l}{\mu }_l{s}_l(y_i,x,i)}$$       式中，$t_k$和$s_l$是特征函数，${\lambda }_k$和${\mu }_l$是对应的权值。其中$t_k$是定义在边上的特征函数，称为转移特征；$s_l$是定义在结点上的特征函数，称为状态特征。通常$t_k$与$s_l$的取值为1或0，满足特征条件时取1，否则取0。
       由于势函数的形式，线性链条件随机场跟逻辑回归等一样也是对数线性模型(log linear model)。
       为了表述方便，考虑将两种特征放在一起表示。设有$K_1$个转移特征，$K_2$个状态特征，总特征数为$K=K_1+K_2$，用$f_k(y_{i-1},y_i,x,i)$来表述$t_k(y_{i-1},y_i,x,i)$与$s_l(y_i,x,i)$，则其在各个位置$i$的求和记作
$$f_k(y,x)=\sum _{i=1}^n{f}_k(y_{i-1},y_i,x,i),k=1,2,\cdots ,K$$       再用$w_k$来表述权值${\lambda }_k$与${\mu }_l$，将特征与权值均用向量表示，即
$$F(y,x)=(f_1(y,x),f_2(y,x),\cdots ,f_K(y,x){)}^T$$$$w=(w_1,w_2,\cdots ,w_K{)}^T$$       这样条件随机场可以写成向量$w$与$F(x,y)$的内积形式
$$P_w(y|x)=\frac{e^{w\cdot F(y,x)}}{Z_w(x)}$$       其中
$$Z_w(x)=\sum _y{e}^{w\cdot F(y,x)}$$       除了用向量内积表示，条件随机场还可以用矩阵形式表示。首先对每一个位置$i=1,2,\cdots ,n+1$，定义一个$m$阶矩阵
$$M_i(x)=[M_i(y_{i-1},y_i|x)]$$$$M_i(y_{i-1},y_i|x)=e^{{\sum }_{k=1}^K{w}_k{f}_k(y_{i-1},y_i,x,i)}$$       式中$m$是$y_i$的可取个数，这样条件概率可表示为
$$P_w(y|x)=\frac{1}{Z_w(x)}\prod _{i=1}^{n+1}{M}_i(y_{i-1},y_i|x)$$$$Z_w(x)=(M_1(x)M_2(x)\cdots M_{n+1}(x){)}_{start,stop}$$       $y_0=start$与$y_{n+1}=stop$表示开始状态与终止状态。

三、条件随机场的概率计算问题

       跟上一篇博客中的隐马尔可夫模型相同，条件随机场的概率计算问题是给定输入序列$x$和输出序列$y$，计算条件概率$P(Y_i=y_i|x),P(Y_{i-1}=y_{i-1},Y_i=y_i|x)$及其相应的数学期望。同样，可以引进前向-后向向量进行递归计算，这样的算法称为前向-后向算法。
       首先对初始$i=0$，定义前向向量${\alpha }_0(x)$
$${\alpha }_0(y|x)=\{\begin{array}{rc}1,& y=start\\ 0,& 否则\end{array}$$       接着对$i=1,2,\cdots ,n+1$递推，递推公式为
$${\alpha }_i^T(y_i|x)={\alpha }_{i-1}^T(y_{i-1}|x)[M_i(y_{i-1},y_i|x)],i=1,2,\cdots ,n+1$$       式中，${\alpha }_i(y_i|x)$表示在位置$i$的标记是$y_i$且到位置$i$的前部分标记序列的非规范化概率，$y_i$可取值为$m$个，所以${\alpha }_i(y_i|x)$是$m$维向量。上式又可以表示为
$${\alpha }_i^T(x)={\alpha }_{i-1}^T(x)M_i(x)$$       再来看后向向量，先对$i=n+1$定义后向向量${\beta }_{n+1}(x)$
$${\beta }_{n+1}(y_{n+1}|x)=\{\begin{array}{rc}1,& y_{n+1}=stop\\ 0,& 否则\end{array}$$       接着对$i=0,1,\cdots ,n$递推，递推公式为
$${\beta }_i(y_i|x)=[M_{i+1}(y_i,y_{i+1}|x)]{\beta }_{i+1}(y_{i+1}|x)$$       式中，${\beta }_i(y_i|x)$表示在位置$i$的标记为$y_i$且从$i+1$到$n$的后部分标记序列的非规范化概率。同样的，上式也可以表示为
$${\beta }_i(x)=M_{i+1}(x){\beta }_{i+1}(x)$$       由前向-后向向量定义不难得到
$$Z(x)={\alpha }_n^T(x)\cdot 1=1^T\cdot {\beta }_1(x)$$       式中，$1$是元素均为1的$m$维列向量。
       接着，根据前向-后向向量的定义，可得
$$P(Y_i=y_i|x)=\frac{{\alpha }_i^T(y_i|x){\beta }_i(y_i|x)}{Z(x)}$$$$P(Y_{i-1}=y_{i-1},Y_i=y_i|x)=\frac{{\alpha }_{i-1}^T(y_{i-1}|x)M_i(y_{i-1},y_i|x){\beta }_i(y_i|x)}{Z(x)}$$

四、条件随机场的学习算法

       条件随机场的学习问题是估计条件随机场模型参数的问题，学习方法包括极大似然估计和正则化的极大似然估计。具体的优化实现算法有改进迭代尺度法IIS、梯度下降法、拟牛顿法，这里暂时不详细介绍了。

五、条件随机场的预测算法

       条件随机场的预测问题，指的是给定条件随机场$P(Y|X)$和输入序列$x$，求条件概率最大的输出序列$y^{\ast }$，这里可以类比为隐马尔科夫模型，条件随机场$P(Y|X)$对应模型参数$\lambda$，输入序列$x$对应观测序列$O$，最有可能的输出序列$y^{\ast }$对应最有可能的状态序列$I^{\ast }$。
       对于预测问题，最有可能的输出序列$y^{\ast }$为
$$y^{\ast }=\arg \underset{y}{\max }{P}_w(y|x)$$       根据第二节所述，条件随机场可以写成向量$w$与$F(x,y)$的内积形式，代入上式中得
$$y^{\ast }=\arg \underset{y}{\max }\frac{e^{w\cdot F(y,x)}}{Z_w(x)}=\arg \underset{y}{\max }[w\cdot F(y,x)]$$       需要明确的是，$w$与$F(y,x)$均是$K$维向量，即
$$w=(w_1,w_2,\cdots ,w_K{)}^T$$$$F(y,x)=(f_1(y,x),f_2(y,x),\cdots ,f_K(y,x){)}^T$$$$f_k(y,x)=\sum _{i=1}^n{f}_k(y_{i-1},y_i,x,i),k=1,2,\cdots ,K$$       从上面三个式子可以看出，累加在内内积在外，如果我们把它变成累加在外内积在内，$y^{\ast }$的求解就可以用递推完成，这便是维特比算法。
       根据上面三个式子，有
$$w\cdot F(y,x)=w_1\sum _{i=1}^n{f}_1(y_{i-1},y_i,x,i)+w_2\sum _{i=1}^n{f}_2(y_{i-1},y_i,x,i)+\cdots +w_K\sum _{i=1}^n{f}_K(y_{i-1},y_i,x,i)$$       即
$$w\cdot F(y,x)=\sum _{i=1}^n[w_1{f}_1(y_{i-1},y_i,x,i)+w_2{f}_2(y_{i-1},y_i,x,i)+\cdots +w_K{f}_K(y_{i-1},y_i,x,i)]$$       如果我们令
$$F_i(y_{i-1},y_i,x)=(f_1(y_{i-1},y_i,x,i),f_2(y_{i-1},y_i,x,i),\cdots ,f_K(y_{i-1},y_i,x,i){)}^T$$       上式便可写为
$$w\cdot F(y,x)=\sum _{i=1}^{n}w\cdot F_i(y_{i-1},y_i,x)$$       这样，就可以从$i=1$递推到$i=n$，求得最优路径$y^{\ast }=(y_1^{\ast },y_2^{\ast },\cdots ,y_n^{\ast }{)}^T$。
       具体过程是是，首先求出$i=1$的各个标记$j=1,2,\cdots ,m$的非规范化概率
$${\delta }_1(j)=w\cdot F_1(y_0=start,y_1=j,x),j=1,2,\cdots ,m$$       接着递推
$${\delta }_i(l)=\underset{1\le j\le m}{\max }\{{\delta }_{i-1}(j)+w\cdot F_i(y_{i-1}=j,y_i=l,x)\},l=1,2,\cdots ,m$$$${\psi }_i(l)=\arg \underset{1\le j\le m}{\max }\{{\delta }_{i-1}(j)+w\cdot F_i(y_{i-1}=j,y_i=l,x)\},l=1,2,\cdots ,m$$       递推至$i=n$后，可得最优路径的终点
$$y_n^{\ast }=\arg \underset{1\le j\le m}{\max }{\delta }_n(j)$$       由此终点返回
$$y_i^{\ast }={\psi }_{i+1}(y_{i+1}^{\ast })i=n-1,n-2,\cdots ,1$$       最终求得最优路径$y^{\ast }=(y_1^{\ast },y_2^{\ast },\cdots ,y_n^{\ast }{)}^T$。