暴力递归：
1.把问题转化为规模最小的同类问题的子问题
2.有明确的不需要继续进行递归的条件（base,case）
3.有当得到子问题的结果之后的决策问题
4.不记录每一个子问题的解
动态规划：
1.从暴力递归中来
2.将每一个子问题的解记录下来，避免重复计算
3.把暴力递归的过程，抽象成状态表达
4.并且存在化简状态表达，使其更加简洁
背包问题：
先按照题意暴力递归，然后去除题意，改为dp.
给定两个数组w和v， 两个数组长度相等， w[i]表示第i件商品的
重量， v[i]表示第i件商品的价值。
再给定一个整数bag， 要求你挑选商品的重量加起来一定不能超
过bag， 返回满足这个条件下， 你能获得的最大价值.
package basic_class_07;
public class Code_09_Knapsack {
public static int maxValue1(int[] c, int[] p, int bag) {
return process1(c, p, 0, 0, bag);
}
public static int process1(int[] c, int[] p, int i, int cost, int bag) {
if (cost > bag) {
return Integer.MIN_VALUE;
}
if (i == c.length) {
return 0;
}
return Math.max(process1(c, p, i + 1, cost, bag), p[i] + process1(c, p, i + 1, cost + c[i], bag));
}
public static int maxValue2(int[] c, int[] p, int bag) {
int[][] dp = new int[c.length + 1][bag + 1];
for (int i = c.length - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = bag; j >= 0; j--) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j];
if (j + c[i] <= bag) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], p[i] + dp[i + 1][j + c[i]]);
}
}
}
return dp[0][0];
}
public static void main(String[] args) {
int[] c = { 3, 2, 4, 7 };
int[] p = { 5, 6, 3, 19 };
int bag = 11;
System.out.println(maxValue1(c, p, bag));
System.out.println(maxValue2(c, p, bag));
}
}
题目：数组中选和问题
下面代码中，一种是暴力递归，一种是动态规划
给你一个数组arr， 和一个整数aim。 如果可以任意选择arr中的
数字， 能不能累加得到aim， 返回true或者false
public class Code_08_Money_Problem {
public static boolean money1(int[] arr, int aim) {
return process1(arr, 0, 0, aim);
}
public static boolean process1(int[] arr, int i, int sum, int aim) {
if (sum == aim) {
return true;
}
if (i == arr.length) {
return false;
}
return process1(arr, i + 1, sum, aim) || process1(arr, i + 1, sum + arr[i], aim);
}
public static boolean money2(int[] arr, int aim) {
boolean[][] dp = new boolean[arr.length + 1][aim + 1];
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i][aim] = true;
}
for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = aim - 1; j >= 0; j--) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j];
if (j + arr[i] <= aim) {
dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i + 1][j + arr[i]];
}
}
}
return dp[0][0];
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 1, 4, 8 };
int aim = 12;
System.out.println(money1(arr, aim));
System.out.println(money2(arr, aim));
}
}
最小路径和问题
下面代码中一种是暴力递归，一种是动态规划
给你一个二维数组， 二维数组中的每个数都是正数， 要求从左上
角走到右下角， 每一步只能向右或者向下。 沿途经过的数字要累
加起来。 返回最小的路径和。
public class Code_07_MinPath {
public static int minPath1(int[][] matrix) {
return process1(matrix, matrix.length - 1, matrix[0].length - 1);
}
public static int process1(int[][] matrix, int i, int j) {
int res = matrix[i][j];
if (i == 0 && j == 0) {
return res;
}
if (i == 0 && j != 0) {
return res + process1(matrix, i, j - 1);
}
if (i != 0 && j == 0) {
return res + process1(matrix, i - 1, j);
}
return res + Math.min(process1(matrix, i, j - 1), process1(matrix, i - 1, j));
}
public static int minPath2(int[][] m) {
if (m == null || m.length == 0 || m[0] == null || m[0].length == 0) {
return 0;
}
int row = m.length;
int col = m[0].length;
int[][] dp = new int[row][col];
dp[0][0] = m[0][0];
for (int i = 1; i < row; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + m[i][0];
}
for (int j = 1; j < col; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + m[0][j];
}
for (int i = 1; i < row; i++) {
for (int j = 1; j < col; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + m[i][j];
}
}
return dp[row - 1][col - 1];
}
// for test
public static int[][] generateRandomMatrix(int rowSize, int colSize) {
if (rowSize < 0 || colSize < 0) {
return null;
}
int[][] result = new int[rowSize][colSize];
for (int i = 0; i != result.length; i++) {
for (int j = 0; j != result[0].length; j++) {
result[i][j] = (int) (Math.random() * 10);
}
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] m = { { 1, 3, 5, 9 }, { 8, 1, 3, 4 }, { 5, 0, 6, 1 }, { 8, 8, 4, 0 } };
System.out.println(minPath1(m));
System.out.println(minPath2(m));
m = generateRandomMatrix(6, 7);
System.out.println(minPath1(m));
System.out.println(minPath2(m));
}
}