二分法及其应用

二分法简介

在一些电视节目中，我们经常看到主持人事先在一个范围例如[0,100]选择一个数字例如19,然后让参与者(观众或者嘉宾)猜测一个数字，支持说出大了还是小了，一直到猜中的那一位获得奖项。

在这个问题中，我们有一个非常直觉的方法，就是每次都猜测最新的最大值和最小值之间的中间值，我们就可以使用期望（平均）最少的步骤达到最优值，用python语言可以写成：
(bisect_guess_number.py)

import random

lower = 0
upper = 100
c = random.randint(lower, upper)
print("想要被猜中的数字为：", c)

t = 0
while upper > lower + 1:
    t += 1
    g = (lower + upper) >> 1
    if g == c:
        print("第%d次猜中数字%d"%(t, g))
        break
    elif g > c:
        upper = g
    else:
        lower = g

最多不超过ceil(log2(100))=7就可以猜中数字。

通过上面的描述和代码，我们可以这些理解二分法：
已知问题的上界和下界，然后使用均值来试探问题的解，如果不是，判断均值是新的上界还是下界，不断重复这个过程直到得到问题的解。

下面可以继续讲两个例子

二分法求方程的根

伪代码

一直区间[a,b]是的f(a)f(b)<0, 求出方程f(x)=0在区间(a,b)中的一个解。

EPS = 精度或者计算机系统可容忍的最小的浮点数绝对值
while (b - a) < EPS:
    c = (a + b) / 2
    if f(c) =0: 停止并结束
    if f(a)f(c) < 0:
        b = c
    else:
        a = c
    结束
结束while循环
近似根x=(a+b)/2    

应用例题：利用二分法找到方程$x^2+x-1=0$在区间[0,1]中的解（黄金分割点）。

二分查找

如果数组有序，那么我们可以把数组下标当作自变量，数组的值当作因变量，查找一个数组的数就等于解方程a(i)=x,a是数组，i是下标，x是查找的元素，i必须是正整数。而按照上面的描述，解方程可以使用二分查找。
如果数组的长度是N，那么二分查找的时间效率是O(log(N))，顺序查找的时间效率是O(N),如果要查同一个数组很多次的话，我们先将数组排序，然后进行查找的效率会更高。
python源码中有事先二分查找，在模块bisect里面。