Java 求最大公约数(欧几里德算法证明)

基本概念

如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

几个整数中公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数(greatest common divisor)。

 

代码示例

1.使用循环

public static int getGCD(int a, int b) {
    if (a < 0 || b < 0) {
        return -1; // 数学上不考虑负数的约数
    }
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    while (a % b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return b;
}

 

2.使用递归

public static int getGCD(int a, int b) {
    if (a < 0 || b < 0) {
        return -1; // 数学上不考虑负数的约数
    }
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return a % b == 0 ? b : getGCD(b, a % b);
}

 

欧几里德算法证明:(下述内容仅做了解)

上面代码使用的是欧几里德算法,又称辗转相除法。

假设有非零正整数 A、B,其中 A > B,将 A 减 B 记为 C,即 A - B = C。

最大公约数记为 GCD(greatest common divisor),例如 A、B 的最大公约数记为 GCD(A, B)。

 

求证:GCD(A, B) = GCD(B, R)

(其中 R 为 A 除以 B 的余数,或记为 R = A - n * B,n 为 A 除以 B 的商。即 R = A % B)

 

第一步:证明 GCD(A, B) 能够整除 C

1.因为 GCD(A, B) 是 A 的公约数,存在整数 X,使得 X * GCD(A, B) = A;

2.因为 GCD(A, B) 是 B 的公约数,存在整数 Y,使得 Y * GCD(A, B) = B;

3.因为 A - B = C,即

X * GCD(A, B) - Y * GCD(A, B) = C

(X - Y) * GCD(A, B) = C

使用图片表示即:

Java 求最大公约数(欧几里德算法证明)_第1张图片

所以有结论:

GCD(A, B) 不仅是 A 和 B 的最大公约数,同时也是 C 的约数。

 

第二步:证明 GCD(B, C) 能够整除 A

1.因为 GCD(B, C) 是 B 的公约数,存在整数 M,使得 M * GCD(B, C) = B;

2.因为 GCD(B, C) 是 C 的公约数,存在整数 N,使得 N * GCD(B, C) = C;

3.因为 B + C = A,即

M * GCD(B, C) + N * GCD(B, C) = A

(M + N) * GCD(B, C) = A

使用图片表示即:

Java 求最大公约数(欧几里德算法证明)_第2张图片

所以有结论:

GCD(B, C) 不仅是 B 和 C 的最大公约数,同时也是 A 的约数。

 

第三步:证明 GCD(A, B) = GCD(B, C)

1.因为 GCD(A, B) 是 A 和 B 的最大公约数,同时也是 C 的约数,所以 GCD(A, B) 一定也是 B 和 C 的约数。由于 GCD(B, C) 是 B 和 C 的最大公约数,所以存在

GCD(A, B) <= GCD(B, C)

2.因为 GCD(B, C) 是 B 和 C 的最大公约数,同时也是 A 的约数,所以 GCD(B, C) 一定也是 A 和 B 的约数。由于 GCD(A, B) 是 A 和 B 的最大公约数,所以存在

GCD(B, C) <= GCD(A, B)

3.由上可得 GCD(A, B) = GCD(B, C)

使用图片表示即:

Java 求最大公约数(欧几里德算法证明)_第3张图片

 

第四步:证明 GCD(A, B) = GCD(B, R)

1.因为 GCD(A, B) = GCD(B, C),即 GCD(A, B) = GCD(B, A - B)

2.上式也可记为 GCD(A, B) = GCD(A - B, B)

3.重复上一步,即有

GCD(A, B) = GCD(A - B, B) = GCD(A - 2B, B) = ... = GCD(A - n * B, B)

4.所以 GCD(A, B) = GCD(B, R)

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