【luogu 3379】最近公共祖先【LCA】【倍增】

题目描述
如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

---

输入格式
第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 x 结点和 y 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 a 结点和 b 结点的最近公共祖先。

输出格式
输出包含 M 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

---

输入输出样例
输入 #1
1 2 3

输出 #1
2

输入 #2
1 5 3

输出 #2
2

---

知识点：LCA问题：

定义：基于有根树最近公共祖先问题
在有根树T中，询问一个距离根最远的结点x，使得x同时为结点$u、v$的祖先，这个祖先节点即为$lca$。同时$lca$一定是$u、v$路径上的点。

---

解题思路
我们可以有这样一个思路，先让$u、v$中深度大的那个点先往上走，直到两点深度相同。然后一起往上走，知道两点相遇，这个点就是$lca$。

接着我们想，如果我们每次只走一步，显然单次查询lca复杂度为$O(n)$。那有没有在空间合适的条件下更好的算法呢？——我们可以用倍增 倍增 的思想

想要实现这个算法，首先我们要记录各个点的深度和他们$2^i$级的的祖先，用数组$dep$表示每个节点的深度，$f[i][j]$表示节点$i$的$2^j$级祖先。 这样如果我们需要走k步，那只需要跳$O(logn)$次即可。

转移：

• $f[i][j]=fa[i](j=0)$
  $f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1](j>0)$

这个转移可以说是算法的核心之一，意思是$i$的$2^i$祖先等于$i$的$2^{(}i-1)$祖先的$2^{(}i-1)$祖先 ，也就是走$2^j$步相当于先走$2^{(}j-1)$步再走$2^{(}j-1)$步。

代码如下：

void dfs(int x,int fa){//x表示当前节点，fa表示它的父亲节点
	f[x][0]=fa,dep[x]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;i<=lg[dep[x]];i++)
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for(int i=h[x];i;i=a[i].next)
		if(a[i].x!=fa)
			dfs(a[i].x,x);
}

预处理完毕后，我们就可以去找它的$LCA$了，为了让它跑得快一些，我们可以加一个常数优化。。。(来自洛谷提高组讲义)

for(int i=1;i<=n;i++)
		lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);

接下来就是倍增$LCA$了，按前面说到的我们先把两个点提到同一高度，再统一开始跳。

int LCA(int x,int y){
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);//用数学语言来说就是：不妨设x的深度 <= y的深度
	while(dep[y]>dep[x])
		y=f[y][lg[dep[y]-dep[x]]-1];//先跳到同一深度
	if(x==y)//如果x是y的祖先，那他们的LCA肯定就是x了
		return x;
	for(int i=lg[dep[x]]-1;i>=0;i--)//不断向上跳（lg就是常数优化）
	{
		if(f[x][i]!=f[y][i])//因为我们要跳到它们LCA的下面一层，所以它们肯定不相等，如果不相等就跳过去。
		{
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	} 
	return f[x][0];//返回父节点
}

---

AC代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,s,x,y,k,h[500010],lg[500010],dep[500010],f[500010][22];
struct c{
	int x,next;
}a[1000010];
void add(int x,int y){
	a[++k].x=y;
	a[k].next=h[x];
	h[x]=k;
}
void dfs(int x,int fa){
	f[x][0]=fa,dep[x]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;i<=lg[dep[x]];i++)
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for(int i=h[x];i;i=a[i].next)
		if(a[i].x!=fa)
			dfs(a[i].x,x);
}
int LCA(int x,int y){
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	while(dep[y]>dep[x])
		y=f[y][lg[dep[y]-dep[x]]-1];
	if(x==y)
		return x;
	for(int i=lg[dep[x]]-1;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=f[y][i])
		{
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	} 
	return f[x][0];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
	dfs(s,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",LCA(x,y));
	}
}